Thalès

est le milieu de [AB] si et seulement si AI = IB ou encore AI + BI = 0 ou encore AI = AB. 2 Centre de gravité −→ −→ −→ → Soit G le centre de gravité du triangle ABC alors on montre que GA + GB + GC = 0 . Expression vectorielle du théorème de thalès −→ −− → −→ −− → −→ −− −→ BA = kBA ' BC = kBC ' AC = kA 'C ' II. Repères A. Repère orthonormal et orthonormé → −→ → −→ →→ → → Dans le plan soit le point O, on pose i = OI et j = OJ . On définit un repère orthonormal O, i, j si i ⊥

un triangle rectangle en Q ̂ ̂ ̂ 3) On sait que (KC) et (PA) sont perpendiculaires à (AS) Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles. Donc (KC)//(PA) De plus : ( et ( Donc selon le théorème de Thalès : ( La distance d’éclairage des feux est donc d’environ 46 mètres. Exercice 7 1) On calcule le volume de la botte de paille en Le poids est alors en kg : Soit en tonnes : 0,0127575 tonnes On trouve ensuite le prix : : 2) Il faut calculer l’aire

donc les points A et M' ont la même ordonnée (MM')∥ (OJ) donc les points M et M' ont même abscisse. Le point M' a donc pour coordonnées (x_M;y_A). Dans le triangle ABB’, on a : M∈(AB) ; M^'∈(AB^') ; (MM^' )∥(BB^'), D’après le théorème de Thalès, on a : AM/AB=(AM^')/(AB^' )=(MM^')/(BB^' ), c’est-à-dire : AM/AB=(x_M-x_A)/(x_B-x_A )=(y_M-y_A)/(y_B-y_A ) M milieu de [AB] si et seulement si 1/2=(x_M-x_A)/(x_B-x_A )=(y_M-y_A)/(y_B-y_A ) si et seulement si {█(1/2=(x_M-x_A)/(x_B-x_A

CORRECTION 2011-2012 sujet 1 EA² = 81 – 20,25 = 60,75 EA = 60,75 ≈ 7,8 cm Autre méthode utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle EAN: EA = 9 sin 60° 2) a) AR = RN – AN = 10,6 – 4,5 = 6,1 cm b) En appliquant le théorème de Thalès dans les triangles ART et ENR (les droites (AT) et (EN) étant parallèles) : AR TA 6,1 TA = = 10,6 9 NR EN d’où TA ≈ 5,2 cm c) tan a = ERA EA = AR 60,75 6,1 a ≈ 52 ° ERA 4 3ème A IE2 trigonométrie CORRECTION 2011-2012

points S, C, E et S, B, F sont alignés dans le même ordre. On a : = + Courbe Exercice 2 = 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 1 3 1 3 Et 2 2 3 2 3 2 On en déduit que : Selon la réciproque du théorème de Thalès, les droites (CB) et (EF) sont parallèles. 3. Dans le triangle AEF, on sait que C est le milieu de [AE], et que les droites (CK) et (EF) sont parallèles. Si une droite passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un deuxième côté

[EF] représente un tasseau à fixer. Dans cette question, on suppose que le tasseau [EF] est placé à 0,50 m du côté [AB]. On a donc : AE = BH = 0,50 m de plus SM = 1,80 m.     a) En se plaçant dans le triangle SBM et en utilisant le théorème de Thalès, calculer FH.     b) En déduire la longueur EF du tasseau. 4/4

opposé à ABC = coté adjacent à ABC AB Hypoténuse Côté opposé à ABC A Côté adjacent à ABC B Remarques : On peut prouver l’existence du sinus et de la tangente de la même façon qu’en quatrième. On avait alors utilisé le théorème de Thalès pour montrer l’existence du cosinus. On a aussi avec l’angle ACB : cos ACB = AC AB AB ; sin ACB = ; tan ACB = BC BC AC Il n’est pas toujours facile de retenir les trois formules ci-dessus, il est donc astucieux de trouver des moyens

= 289 SB = SB = 17 Conclusion: SB = 17 cm 3. On a Sachant que les droites (EA) et (FB) sont sécantes en S, les points S,E,A et les points S, F, B sont alignés dans le même ordre, comme , alors d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (AB) sont parallèles. 4. a) Calcul du coefficient de réduction Soit k le coefficient de réduction, on a : Conclusion : Le coefficient de réduction est. b) Calcul du volume V 2 de la pyramide Soit V2 le volume de

= 23,04 + GF² GF² = 36 – 23,04 = 12,96 GF = 12,96 GF = 3,6 cm G E F 4) - (EK) et (LF) sont sécantes en G - E, G, K d’une part et F, G, L d’autre part sont alignés dans cet ordre. - (LK) est parallèle à (EF) Donc d’après le théorème de Thalès, les côtés des triangles LKG et EFG sont proportionnels. GL GK LK Donc on a : ( GF =) GE = FE EK = 8 cm et EG = 4,8 cm donc GK = 8 – 4,8 = 3,2 cm 3,2 LK 4,8 = 6 donc LK = 6 x 3,2 : 4,8 = 4 LK = 4 J cm. Autre rédaction possible : - (EK) et (LF) sont

demi-disque .sit = 6,54 + 6 x 3 + 3,53 = 28,07 m2 . ................ ... 0,25.... 1 . 0,25.... 0,25 Partie C 7) Les points D, N, A sont alignés ainsi que les points D, M, H. Les droites (MN) et (HB) sont parallèles . D'après le théorème de Thalès dans les triangles DNM et DAH DN _ DM _ MN _ DA DH AFI DN - 3 MN =? Or; d,oü soit : MN--; 3 x AH .. ... .................... ...... .... .. .. . . . . 0,5 . .. . . 0,5 DA 4 AH 4 4 8) Longueur de MN : MN= 3 x 2,18 = 1,64 m . . . . . . . . .. .....