Théorème de la bijection

(E ,≤), est appelé en- semble partiellement ordonné Soient [Davey et Priestley, 2002]. Q deux ensembles partiellement ordonnés. Nous disons que P et Q sont ordre-isomorphes, noté P ∼ Q, s'il existe une bijection f : P ⇒ Q et tel que : = et P x≤y La bijection dans P ⇔ f (x) ≤ f (y) dans Q. f est ainsi dite ordre-isomorphisme [Davey et Priestley, 2002]. [Ganter et Wille, 1999] Relation de couverture x, y deux éléments de Soient E un ensemble

strictement supérieure à 1 sur ]0;1[ . Donc l'équation f ( x ) = 0 n'a aucune solution dans cet intervalle. Par contre, la fonction f est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [1; +∞[ , passant de 2 à −∞ . Par conséquent, f est une bijection de [1; +∞[ dans ]−∞; 2] . Donc 0 ∈ ]−∞; 2] a un unique antécédent α dans [1; +∞[ par la fonction f. Conclusion : l'équation f ( x ) = 0 a une unique solution α dans l'intervalle ]0; +∞[ . La fonction f est strictement positive sur l'intervalle ]0;1[

la fonction exponentielle, nous le retrouvons en économie (calculs des intérêts versés de façon continue), en biologie (mesure de la multiplication des cellules vivant dans un organisme), en sciences physiques … Pour finir, voici un extrait du "Théorème du perroquet" de Denis Guedj qui donne une représentation concrère du nombre e : « Suppose qu'il y a un an tu aies amassé un beau pécule qui nous permettra de payer notre voyage pour Manaus. Soit P, ce pécule. Tu l'as placé en attendant. Coup de

inclusion, ensemble de parties P( E ) , complémentaire, intersection, réunion de deux parties, produit cartésien . b) Application d’un ensemble E dans un ensemble F , Image d’une partie de E , Image réciproque d’une partie de F , injection , surjection, bijection et compositions d’applications . SUITE NUMERIQUES - Suites croissantes , suites décroissantes , suites arithmétiques, suites géométriques . - - Limite d’une suite , critères de convergence ( Rappels et exercices pour consolider les acquis en 2em

particulière pour laquelle tout nombre x est solution. Les algorithmes programmés dans tout système de calcul formel reflètent uniquement les connaissances mathématiques des concepteurs du système. Un tel outil ne peut pas démontrer directement un nouveau théorème ; il permet simplement d’effectuer des calculs dont les méthodes sont bien connues mais qui sont trop longs pour être menés à bien « avec un papier et un crayon ». 1.6 Classes et classes normales Les sections suivantes présentent la notion

attentivement. Une lecture rapide des notions abordées ne vous servira à rien et c’est même une perte de temps. Votre progression sera le fruit d’un effort réel à fournir : – lisez et relisez les définitions, les théorèmes et les propriétés ; – insistez sur les conditions d’utilisation des théorèmes et des propriétés ; – faites et refaites les exemples proposés. Nous avons aussi prévu des renvois à des exercices d’application, signalés à l’aide du picto f. Ils seront pour vous l’occasion de tester la

−∞ − ∞ = −∞, a + ∞ = +∞, a − ∞ = −∞ si a ∈ I R, (1) www.L es-M athematiques.net 0 × ∞ = 0, a ∈]0, ∞] ⇒ a × ∞ = +∞, a ∈ [−∞, 0[ ⇒ a × ∞ = −∞. (2) Les ensembles d´ nombrables : on dit qu’un ensemble E est d´ nombrable s’il est en bijection avec I , c’est-` e e N a ´ dire si on peut enum´ rer ses points en une suite (xn )n∈I (ce qui implique notamment que xn = xm si n = m) : c’est le e N cas de I lui-mˆ me, ou de I ∗ , de Z de Q ou encore des entiers pairs, ou de toute suite strictement

structure est celle d’une algèbre de Boole (cas fini), ou d’une σ-algèbre (cas infini). A. Notion de probabilité Soit Ω l’ensemble fondamental associé à une épreuve aléatoire et l’ensemble des parties de Ω. ᏼ (Ω) 1. C’est-à-dire pouvant être mis en bijection avec tout ou partie de l’ensemble‫ ގ‬des entiers naturels. 2. Le complémentaire de l’ensemble G est noté indifféremment G ou Gc. MODÈLE PROBABILISTE ET VARIABLE ALÉATOIRE • 133 P131-178-9782100549412.fm Page 134 Mercredi, 24. novembre 2010 10:19

retournant ce tableau, on obtient le tableau représentant le programme dual : 39 y3 1 1 0 y2 6 1 2 y1 4 1 1 C 0 2 1 Maximiser P = 4y1 + 6y2 + y3 cstes x2 x1 =⇒ sous les contraintes 2  y1 + y2 + y3 y1 + 2y2 1  y1 , y2 , y3 0 Le théorème fondamental de la dualité nous dit alors que les solutions optimales de ces deux programmes linéaires sont liés. En particulier, le maximum de P est égal au minimum de C. D’autre part, après introduction des variables d’écart dans chacun des programmes

LINÉAIRE En retournant ce tableau, on obtient le tableau représentant le programme dual : y3 1 1 0 y2 6 1 2 y1 4 1 1 C 0 2 1 Maximiser P = 4y1 + 6y2 + y3 cstes x2 x1 =⇒ sous les contraintes 2  y1 + y2 + y3 y1 + 2y2 1  y1 , y2 , y3 0 Le théorème fondamental de la dualité nous dit alors que les solutions optimales de ces deux programmes linéaires sont liés. En particulier, le maximum de P est égal au minimum de C. D’autre part, après introduction des variables d’écart dans chacun des programmes