Théorème de la bijection

serait ´quipotent a N. e L’application x → x/(1 + |x|) est bijective de R sur ] − 1, 1[ qui est en bijection avec ]0, 1[. e De plus P(N) est ´quipotent a {0, 1}N , qui d´signe l’ensemble des applications de N dans e ` {0, 1} ; en effet, on consid`re, pour un ensemble X e Φ : P(X) −→ {0, 1}X , A → 1A o` 1A : X → {0, 1} est d´fini par 1A (x) = u e 1 si x ∈ A, 0 si x ∈ A. / L’application Φ est une bijection : comme A = 1−1 ({1}), 1A = 1B implique A = B. Par A ailleurs, si ϕ : X → {0, 1}, on a ϕ = 1A avec

Principe des probabilités composées Événements indépendants 33 33 35 40 41 42 42 44 44 III i i i i i i “doc” — 2006/8/9 — 11:52 — page IV — #2 i 3.4 3.5 Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle Théorème de Bayes 4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité

➢ Equilibre. Cauchy : Quelle est la mesure de contrainte intéressante pour les grands déplacements ? La meilleure contrainte est celle de Cauchy, c’est la contrainte vraie, la limite élastique est au sens de Cauchy Cauchy : que dit le théorème de décomposition polaire de Cauchy ? Il existe deux façons de passer de la conformation initiale à la conformation finale, cela se passe en deux décompositions de forces qui sont : F=RU et F=UR R matrice de rotation U matrice de déplacement

0 Notons au passage l’int´rˆt d’utiliser la fonction indicatrice 1{z≥x} pour ´viter de faire des ee e erreurs sur le domaine d’int´gration lors de l’´change des int´grales en x et en z. e e e 3.1.2 Changement de variables Soit ϕ une bijection continuement diff´rentiable ainsi que son inverse ϕ−1 d’un ouvert e e e O de Rd sur un ouvert O′ de Rd , f : Rd → R born´e et g : Rd → R int´grable. f (ϕ(x))g(x) dx = O O′ f (y)g(ϕ−1 (y)) |Jac ϕ−1 (y)| dy, o` u Jac ϕ−1 (y) = Det ∂(ϕ−1 )i (y)

0 Notons au passage l’int´rˆt d’utiliser la fonction indicatrice 1{z≥x} pour ´viter de faire des ee e erreurs sur le domaine d’int´gration lors de l’´change des int´grales en x et en z. e e e 3.1.2 Changement de variables Soit ϕ une bijection continuement diff´rentiable ainsi que son inverse ϕ−1 d’un ouvert e e e O de Rd sur un ouvert O′ de Rd , f : Rd → R born´e et g : Rd → R int´grable. f (ϕ(x))g(x) dx = O O′ f (y)g(ϕ−1 (y)) |Jac ϕ−1 (y)| dy, o` u Jac ϕ−1 (y) = Det ∂(ϕ−1 )i (y)

puisse se dvper. Par ex en maths on a besoin de grds principes servants d’hypothèses de base pr asseoir la pensée. Par def, un principe est posé, il n’est pas déduit, à la différence bien sûr d’autres propositions comme des définitions et surtt des théorèmes. Un principe est ainsi un indémontrable, et qui est pourtant indispensable pr la démonstration. En particulier dans les sciences de la nature, la formulation de celle-ci est comme l’application du principe du déterminisme que l’on peut approcher

Dans les autres cas, le calcul est facilité par l’utilisation d’un logiciel. • Déterminer la fonction causale (original) dont la transformée de Laplace est donnée. Théorème de la valeur initiale et théorème de la valeur finale. L’exploitation de situations issues des autres disciplines permet d’illustrer la pertinence de ce théorème. 21 Transformée de Laplace d’une dérivée. • Exploiter la transformation de Laplace pour résoudre une équation différentielle linéaire d’ordre 1 ou 2 à coefficients

tr(M ) = 0. Montrer, M 2G M , que X M 2G M = 0. 01 43. Soient A = @ 0 42. Soit F un sous-espace vectoriel de Mn(R), stable pour le produit et contenant In. Montrer que F \ (GLn (R)) est un sous-groupe de GLn (R). (Utiliser le theoreme de Cayley-Hamilton). 0 0 0 0 1 A et B = @ 1 0 0 A deux matrices. Quel est le 0 1 0 1 0 0 1 0 groupe multiplicatif engendre par A et B ? (On pourra remarquer que A et B sont des matrices de permutation). 1 0 1 44. Nous voulons demontrer

point xp . Cela peut se faire ` l’aide du proc´d´ diagonal de Cantor : on d´finit la a e e e fonction ψ de N dans N par ψ(n) = ϕ0 ◦ · · · ◦ ϕn (n). 1 Un ensemble topologique jouissant de cette propri´t´ est dit s´parable. e e e ´ ` 5.3. LE THEOREME D’ASCOLI 47 C’est clairement une fonction strictement croissante de N dans N qui, par construction, v´rifie e ∀p ∈ N , lim fψ(n) (xp ) = g(xp ). (5.4) n→∞ L’ensemble X ´tant compact, le lemme 1 assure que F est uniform´ment ´quicontinue

cependant plus coûteuse, dans le sens où nous avons besoin d’estimer les ratings sur une longue période afin de calculer les probabilités de transition. I.2.2 Rendements de transition : Les rendements de transition permettent d’établir une bijection entre le rendement de l’actif de chaque émetteur et sa notation à l’horizon. Le rendement de la valeur de l’actif de chaque émetteur est supposé suivre une loi normale de moyenne µ et d’écart-type σ . Dans CreditMetrics, les paramètres du rendement