Théorème de la bijection

Ellipses BU Maths 19.2 DEL Rappel de cours : Dénombrement  Le nombre d'applications d'un ensmble à p est n . dans lui-même  est p éléments vers un ensemble à n éléments  Le nombre de permutations d'un ensemble à n éléments  bijections de cet ensemble p éléments dans un ensemble n!. n! . = (n − p)! p éléments dans un ensemble à  Le nombre d'arangements injections  d'un ensmble à à n p éléments est An  Le nombre de combinaisons  ou sous-ensembles  à n

circulaire . . . . . . . . . . . . . . . Simplification de la structure des cycles . . Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . Préliminaires . . . . . . . . . . . Équilibre et acyclicité . . . . . Les théorèmes d’équivalences Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

sommet, à chaque pont, une arête. Le problème se formule alors ainsi : existe-t-il une chaîne passant une fois et une seule par chaque arête du multigraphe (on parlera de chaîne eulérienne) ? La réponse résulte du théorème suivant que nous ne démontrerons pas : Fondamental : Théorème d'Euler Un multigraphe simple (sans boucle) G admet une chaîne eulérienne si et seulement si il est connexe (“d'un seul tenant”) et si le nombre de sommets de degré impair est 0 ou 2. Dans le cas des ponts de Königsberg

mesurables positives. . . . . . . . . . 2.3.1 Définitions et théorème de convergence monotone . . . 2.3.2 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Application : Mesures à densité . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Fonctions intégrables à valeurs dans R ou C . . . . . . . . . . . 2.4.1 Cas de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Cas de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Théorème de la convergence dominée . . . . . . . . . . 2.5 Applications

4 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Définition et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Changement de bases orthonormées . . . . . . . . . . . . 7.4.3 Décomposition Q-R : application du théorème 7.30 . . . . 7.5 La méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Solution approximative d’un système d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Définition et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Changement de bases orthonormées . . . . . . . . . . . . 7.4.3 Décomposition Q-R : application du théorème 7.30 . . . . 7.5 La méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Solution approximative d’un système d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dénition et Propriétés Changement de bases orthonormées Décomposition Q-R : application du théorème 7.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solution approximative d'un système d'équations linéaires . . . . . . . . . . . 7.5 La méthode des moindres carrés 7.5.1 8 Valeurs propres et vecteurs

Définition A.4 Deux systèmes (Σ1 ) et (Σ2 ) sont dits équivalents si l’un se déduit de l’autre par une succession d’opérations élémentaires. Les opérations élémentaires étant inversibles, on peut bien passer d’un système à l’autre et vice-versa. Théorème A.5 Deux systèmes équivalents ont même ensemble de solutions. Si deux systèmes (Σ1 ) et (Σ2 ) sont équivalents, on pourra écrire (Σ1 ) ⇐⇒ (Σ2 ). -2- Mickaël PROST Lycée Chaptal – PT* III – Résolution d’un système linéaire A – Cas des systèmes

7.4 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Définition et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Changement de bases orthonormées . . . . . . . . . . . . 7.4.3 Décomposition Q-R : application du théorème 7.30 . . . . 7.5 La méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Solution approximative d’un système d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 6.4 Un première formulation variationnelle du problème de Dirichlet homogène 55 55 57 58 60 7 Espaces de Sobolev 7.1 Définitions et propriétés . . . . . 7.2 L’espace H01 (Ω) . . . . . . . . . . 7.3 Traces et formules de Green . . . 7.4 Théorème de compacité de Rellich 7.5 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 63 66 68 70 72 . . . . 75 75 77 81 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .