Théorème de Schwarz

sans biais 3. Risque d’un estimateur 4. Information de Fisher 5. Borne de Cramer-Rao (ou Fréchet-Darmois-Cramer-Rao) 6. Exercices Chapitre 6. Amélioration d’estimateurs 1. Statistique exhaustive 2. Statistique exhaustive minimale 3. Théorème de Rao-Blackwell 4. Théorème de Lehmann-Scheffé 5. Cas des familles exponentielles 6. Exercices Chapitre 7. Comportement asymptotique d’un estimateur 1. Normalité asymptotique 2. Estimateurs empiriques des moments 3. Estimateur du maximum de vraisemblance 4. La

élémentaire 7.1 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Problèmes d’extrémums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Les théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites 7.5 Intégrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 33 34 34 34 35 Algèbre euclidienne et hermitienne 8

algèbres ; un morphisme d’ algèbre est une application f : A ! B qui est linéaire et qui est un morphisme d’ anneau c’ est-à-dire qui véri…e : 8x; y 2 A; 8 2 | : f (x + y) = f (x)+ f (y) ; f (x:y) = f (x): f (y) ; f ( x) = f (x) ; f (1A ) = 1B : Théorème 1.1 : L’ application Preuve : u : |[X] ! L(E) est un morphisme d’ algèbre. P 7 ! P (u) n P En e¤et 8P; Q 2 |[X]; 8 2 |; posons P = ai X i ; Q = i=0 j=0 linéaire). (P Q)(u) = u (P Q) ; u ( P ) = ( P )(u) = P (u) = u (P ) ;

de réels :  = {(a, b) Î  ´ } Les éléments de  sont appelés des nombres complexes. Comme il n'est pas pratique de travailler avec des couples (notations un peu lourdes), nous allons voir (théorème 2.2.) que l'on peut noter les éléments de  de manière commode et faciliter ainsi les calculs. 2.2. Théorème L'ensemble  peut être muni de deux lois + et ´ qui prolongent les lois + et ´ de . L'ensemble  contient "une copie" de . Il existe dans  un élément, noté i, tel que i 2 = -1. Tout élément

mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstration. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces d'une activité plus générale. Les Indiens connaissaient le théorème de Pythagore, savaient construire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (construction d'un carré de même aire) et de manière approchée celle du cercle. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π et de racine carrée de

n)⋮…⋮…⋮E(εnε'1)…E(εnε'2)…E(εnε'n)=σε2000σε20⋮⋮σε2000= σε2.I= Ωε D’où Ωa= σε2(X'X)-1 Elle peut encore s’écrire : Ωa= σε2n (X'Xn)-1 d’après l’hypothèse H7 X'Xn→A(matrice finie) ce qui veut dire limn→∞Ωa=0 Donc â est un estimateur convergent THEOREME DE GAUSS-MARKOV L’estimateur de MCO a=X'X-1X'Y qualifiée de BLUE (Best Linear Unbiased Estimation) car il s’agit du meilleur estimateur sans biais (les variances sont minimales). Après un calcul matriciel, il apparait que : σε2= e'en-k-1 (4) D’où

soumis au test de stationnarité. Si le résidu est stationnaire, alors les variables sont cointégrées. Par ailleurs, ENGLE et GRANGER ont démontré que toutes les séries cointégrées peuvent être représentées par un modèle à correction d’erreurs (théorème de la représentation de GRANGER). C’est un modèle dynamique à court terme qui permet de tendre vers la relation de long terme. Il fournit des coefficients optimaux de régression dans le cas de la non stationnarité des variables. Ce modèle de court

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dénition et Propriétés Changement de bases orthonormées Décomposition Q-R : application du théorème 7.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solution approximative d'un système d'équations linéaires . . . . . . . . . . . 7.5 La méthode des moindres carrés 7.5.1 8 Valeurs propres et vecteurs

f est nul. ∂x2 ∂y 2 [ 01778 ] Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Corrections 6 Corrections Exercice 1 : Soit (α, β) solution. Considérons f (x, y) = α+β Exercice 6 : xα y β x+y sur (R+ )2 . Par le théorème des accroissements nis, il existe cx,y ∈ 0, x2 + y 2 tel que F (x, y) = f (c). Quand (x, y) → (0, 0) alors cx,y → 0 puis F (x, y) → f (0). f (x, x) = x 2x . f bornée implique α + β = 1. Inversement, supposons α + β = 1. α 1−α y y x Si y x alors

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Continuité 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . 3.2 Théorème des valeurs intermédiaires 3.3 Compléments . . . . . . . . . . . . 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 4 Dérivation 4.1 Généralités 4.2 Opérations 4.3 Variations 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .