Complexes
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NOMBRES COMPLEXESAu début du XVIème siècle, le mathématicien Scipione dal Ferro, propose une formule donnant une solution de l'équation du 3ème degré x 3 + px = q : x=
3
q - q 2 + 4 p3 27 + 2
3
q + q 2 + 4 p 3 27 2
A la fin du XVIème siècle, le mathématicien Bombelli applique cette formule à l'équation x 3 - 15x = 4. Il obtient littéralement : x=
3
2 - 11 -1 + 2 + 11 -1
-1 .
3
Cette écriture n'a, a priori, pas de sens puisqu'on ne sait pas ce que représente le symbole noté Mais Bombelli va plus loin. Il remarque, en utilisant les règles usuelles de calcul que :
(2 +
-1 = 2 + 11 -1 et x=2+
)
3
(2 -
-1 = 2 - 11 -1
-1 = 4
)
3
Si bien qu'il obtient finalement :
-1 + 2 -
Or, x = 4 est bien une solution de l'équation x 3 - 15x = 4. Une question naturelle s'est alors posée : peut-on légitimement calculer avec des symboles imaginaires comme ci-dessus ? C'est ainsi qu'est née la théorie des nombres complexes...
1. Introduction L’équation x + 7 = 6 n’a pas de solutions dans , mais elle en a dans un ensemble plus grand : (x = –1). De même, l’équation 3x = 1 n’a pas de solutions dans , alors que dans un ensemble plus grand, par exemple, il y en a une : x = 1/3. Et puis, l’équation x 2 = 2 n’a pas de solutions dans ; il faut chercher dans l’ensemble des nombres réels pour en trouver. Bref, quand une équation n’a pas de solutions, une démarche naturelle (et historique) consiste à en chercher dans un ensemble plus grand. Au stade de nos connaissances actuelles, l’ensemble numérique le plus grand que l’on a rencontré est . Pourtant, l’équation x 2 + 1 = 0 n’a pas de solutions dans ... On va donc, dans ce chapitre « construire ? » ou plutôt imaginer un ensemble plus grand que dans lequel l’équation x 2 + 1 = 0 possède des solutions. On l'appellera : ensemble des nombres complexes. Le principal élément de sera noté i (i comme imaginaire). Le nombre i est tel que i = –1 ! L’équation ci-dessus possède