Théorème des deux carrés de Fermat

rédigés. Barême indicatif. Durée : 1h – Calculatrice interdite. Traiter les exercices dans l’ordre de votre choix. Décembre 2009 Exercice 1 – 5 points Justifier que 82002 + 2 est divisible par 11. Exercice 2 – 5 points 1. Enoncer le théorème de Fermat. 2. En déduire que pour tout nombre premier p, a p ≡ a ( p ) , où a est un entier naturel. 3. Prouver que ∀a ≥ 2, a 7 − a est divisible par 42 Exercice 3 [France 2009, 10 points] Corrigé du test n°2 Exercice 1 – 5 points 8 ≡ 8 (11)

ce chapitre : – On choisit deux nombres premiers p et q que l’on garde secrets et on pose n = p × q. Le principe étant que même connaissant n il est très difficile de retrouver p et q (qui sont des nombres ayant des centaines de chiffres). – La clé secrète et la clé publique se calculent à l’aide de l’algorithme d’Euclide et des coefficients de Bézout. – Les calculs de cryptage se feront modulo n. – Le décodage fonctionne grâce à une variante du petit théorème de Fermat. 1. Division euclidienne et

Terminale S Spe 2010-2011 Nombres Premiers Théorème de Dirichlet (1805-1859) Nous avons démontré qu'il existe une innité de nombres premiers (preuve due à Euclide). Le théorème de Dirichlet est le suivant : Si a et b sont deux nombres entiers premiers entre eux, avec a > 0, alors il existe une innité de nombres premiers de la forme an + b (n entier naturel). La preuve en est très dicile, les deux cas particuliers traités ci-dessous sont toutefois accessibles en TS. 1. Montrer que tout nombre

Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui met en relation les longueurs des côtés dans un triangle rectangle : le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Ce théorème permet notamment de calculer l’une de ces longueurs à partir des deux autres. Il est nommé d’après Pythagore de Samos, philosophe de la Grèce antique. Cependant le résultat était connu plus de mille ans auparavant en Mésopotamie, et, même si

pensionné par la Russie. Il a fait faire à la science mathématique de grands pas, surtout au calcul différentiel et intégral; il appliqua l'analyse à la mécanique, à la construction des vaisseaux, et donna la démonstration de plusieurs théorèmes énoncés par Pierre de Fermat. Entre ses nombreux écrits, presque tous rédigés en latin, on doit remarquer : Mécanique exposée analytiquement, Saint-Pétersbourg, 1736 ; Introduction à l'analyse de l'infini, Lausanne, 1748 ; La Science navale ; Les Institutions

de nombres peuvent être construits, est l’ensemble des nombres entiers naturels. Cet ensemble a pour symbole : ! et contient les éléments suivants : ! = 0;1;2;3;... { } On définit, dans l’ensemble des entiers naturels, deux opérations : l’addition et la multiplication. Ces deux opérations satisfont à plusieurs propriétés telles que : - A toute paire de nombres naturels a et b, on peut associer une somme, notée a + b , qui est elle-même un nombre naturel. On dit que l’opération d’addition est interne

sont en proportion d'or. De tels triangles sont appelés « triangles d'or ». Il en existe de deux types différents, les jaunes ayant une base proportionnelle à a et deux côtés à b et les orange ayant une base proportionnelle à b et deux côtés à a. Les triangles foncés sont semblables aux plus clairs de même couleur, la proportion entre clair et foncé est encore d'or. Les triangles jaunes possèdent deux angles de 36°, soit le cinquième d'un angle plat et un de 108°, soit les trois cinquièmes d'un

fait qu’à partir d’un certain rang on n’ait qu’un seul chiffre. Par contre rien n’empêche qu’à partir d’un certain rang il n’y ait que des 8 et des 9 par exemple. Commentaire : 3 Problème Infaisable (2) • Le problème des grands écarts entre deux nombres premiers consécutifs : étant donné x, quelle taille doit on prendre pour y en fonction de x pour être sûr que pour x assez grand il y ait un nombre premier dans l’intervalle [x, x + y ] ? Un résultat élémentaire (le “postulat de Bertrand”)

connaissances rationnelles. Selon Kant, face aux deux premières matières qui ne dépendent pas de moi, je me trouve dans l’obligation de faire confiance à autrui, de me soumettre à lui et accepter de prendre pour fondement de mes jugements ses connaissances. A l’inverse, les connaissances rationnelles, qui par définition sont des vérités de raison, ne peuvent être le fondement de notre jugement sans être admises pour préjugés. A titre d’exemple, selon Kant, le théorème de Pythagore repose sur une démonstration

une famille pauvre, Gauss obtint une bourse (1792) du duc de Brunswick afin de poursuivre ses études. Il étudia à Göttingen de 1795 à 1798 et soutint sa thèse de doctorat : la démonstration du théorème fondamental de l'algèbre ainsi que l'invention de la théorie des congruences (relation pouvant unir deux entiers) l'année suivante à Helmstedt sous la direction de Pfaff. Illustre mathématicien (arithmétique, géométrie différentielle), physicien (importants travaux et publications en électricité