Théorème d'extension de Carathéodory

ν si ∃N ∈ F / A⊂N ν (N ) = 0 ν (Bi ) = 1 alors ν ( i=1 Bi ) = 1 2. A est vraie ν-presque-partout si Ac est ν-négligeable. Définition : C une famille d’ensemble est un π-système s’il est stable par intersection finie ie : ∀A, BC , A B ∈ C Théorème : Soient µ et ν deux mesures définies sur (Ω, F ) et C ∈ F un π -système ∀C ∈ C , µ (C ) = ν (C ) Si Alors ∀A ∈ σ (C ), µ (A) = ν (A) µ (Ω) = ν (Ω) Autrement dit : deux mesures coincidant sur un π-système ET Ω coincident sur la tribu engendrée par

µ(lim inf(An )n ) = lim µ( m≥n Am ) les limites étant bien définies car portant sur des suites décroissantes et croissantes d’événements. Ci-dessous un résultat utile à la définition de la mesure de Lebesgue sur R, Rn ,... Théorème 1.1.1 (Théorème d’extension de Hahn - Caratheodory) Si Ω est un ensemble, F une algèbre sur Ω, et ν une application de F dans [0, +∞] additive (telle que ν(A ∪ B) = ν(A) + ν(B) pour A ∪ B = ∅), alors si A est la tribu engendrée par F , il existe une mesure ν sur la tribu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Systèmes stochastiques 77 3.1 Introduction aux probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.3 Le théorème central de la limite et les lois fortes des grands nombres 99 3.4 Espérances conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.5 Loi de Poisson et loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.6 La loi du Chi deux . .