Théorème du rang

matérielle pouvant servir de référence pour représenter un nombre ou une quantité. Une configuration permet de faciliter la représentation de la quantité. Lorsque les nombres sont utilisés pour représenter un ordre, on parle d'aspect ordinal du nombre. le rang indique la position dans un ordre (→ utilisation de la bande numérique). Le dénombrement est l'activité qui consiste à déterminer le nombre d'objets d'une collection. Procédures : vision globale (avec les très petites quantités), perception visuelle

dans les problèmes de résolution de systèmes Iinéaires, a été mentionnée dans le chapitre précédent comme outil de calcul des leviers pour des modèles non Iinéaires. une orthogo formati01 La déco d' expriÚ matrice , Ce résu matricii vecteu Théorème Pour toute matriceA e R" XP, il existe deux matrices orthogonales U e W XP et Ve R" XP telles que : 01 0 0 avec 01 è02è ou m: min(p, n). La matrice diagonale S est composée par les valeurs singulières Oj ordonnées par valeurs décroissantes. Les valeurs

mesurables positives. . . . . . . . . . 2.3.1 Définitions et théorème de convergence monotone . . . 2.3.2 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Application : Mesures à densité . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Fonctions intégrables à valeurs dans R ou C . . . . . . . . . . . 2.4.1 Cas de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Cas de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Théorème de la convergence dominée . . . . . . . . . . 2.5 Applications

Avertissement Ces notes ont été redigées pour servir de support au cours M11 “Analyse réelle I ”, enseigné aux étudiants de la première année de la licence STS, mention mathématiques. Il s’agit d’un résumé du cours. Ainsi, les démonstrations des théorèmes ne sont par reportées ici, mais elles sont développées pour la plupart pendant le cours. Il ne faut donc pas considérer ces notes comme un texte de référence et les étudiants sont fortement invités à consulter des livres d’analyse. Ces notes contiennent

concepts, des idées. D’une part, celles à caractère rationnel, c'est-à-dire sensées, logiques, qui sont conformes à la raison et que l’on peut expliquer à l’aide de formules, de lois scientifiques. Par exemple, les formules de physique chimie, ou les théorèmes de mathématiques tels que Thalès ou Pythagore. D’autre part, celles à caractère religieux, qui regroupent les idées sur les dieux, les croyances, les cultes, les cérémonies et les rites tels que le ramadan pour les musulmans ou le mariage à l’église

entrée dans l’enseignement supérieur. Il nous reste à vous souhaiter bon courage en espérant que nous aurons, à travers cet ouvrage, contribué à votre succès. ANALYSE p. 5 Chapitre 01 – Suites Chapitre 02 – Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs intermédiaires Chapitre 03 – Dérivation Chapitre 04 – Fonctions sinus et cosinus Chapitre 05 – Fonction exponentielle Chapitre 06 – Fonction logarithme népérien Chapitre 07 – Intégration p. 6 p. 12 p. 16 p. 20 p. 24 p. 28 p. 32 GÉOMÉTRIE

par un scalaire. Le corps K est qualifié de corps de base pour E. Les mathématiciens, en majorité, ne mettent pas de flèches sur leurs vecteurs — sauf quand ils font de la géométrie classique dans le plan et dans l’espace. Finies les flèches ! Théorème (Règles de calcul dans un espace vectoriel) Soit E un K-espace vectoriel. (i) Pour tous x ∈ E et λ ∈ K : (ii) Pour tout x ∈ E : λ · x = 0E −x = (−1) · x, λ = 0 ou x = 0E . ⇐⇒ où −x est l’opposé de x dans E et −1 l’opposé de

n > n0 δd(i) ≤ η ⇒ x(n) − x ≤ ǫ ¯ Les concepts de stabilité et convergence sont fortement liés dans le cas d’algorithmes consistants. Les méthodes numériques que nous allons considérer dans ce livre satisfont les conditions du théorème de Lax-Richtmyer (ou théorème d’équivalence) selon lequel pour un algorithme numérique consistant, la stabilité est équivalente à la convergence. Remarque Les notions présentées jusqu’ici peuvent paraître au lecteur comme purement théoriques et sans lien évident

fondamental pour les mathématiciens que pour tous les autres chercheurs, mais ceux qui travaillent sur les fondements des mathématiques sont sans doute plus pointilleux sur leur manière d’établir la vérité. Andrew Wiles, qui a récemment démontré le théorème de Fermat, a élaboré une démonstration entièrement manuelle, sans aucune aide informatique. Sa démonstration s’appuie sur les travaux qui se sont succédé en grand nombre depuis le xviiie siècle, entre autres, ceux d’André Weil. De cas particuliers

Convergence d’une suite réelle Définition Une suite (un )n∈N de réels est convergente si et seulement s’il existe un réel l vérifiant ∀ ε > 0 ∃ Nε ∈ N ∀ n Nε |un − l | ε Le réel l est alors unique et on le note l = lim un . n→+∞ Théorèmes sur les limites Toute suite convergente est bornée. Le produit d’une suite bornée par une suite qui converge vers 0 est convergente vers 0. Si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites réelles convergentes et α ∈ R • La suite (un + αvn )n∈N converge