Théorème du rang

élément. Sous-groupe engendré par un élément. Groupes cycliques. Théorème de Lagrange. - Anneaux commutatifs, exemples, idéal d’un anneau commutatif. Corps.  Arithmétique - Division euclidienne dans Z . Idéaux de Z . Divisibilité, PGCD, PPCM. Théorème de Bezout. - Procédure de calcul du PGCD, Procédure de calcul des couples de Bezout. - Congruences, l’anneau Fermat. Z /n Z . Groupe multiplicatif des éléments inversibles de Z /n Z . Théorème de Analyse 1 Volume Horaire : 45 heures : 22,5h Cours +

un réel non nul et n est un entier naturel (n >= 0). Un polynôme est une somme de monômes, soit P(x) = an xn + an-1 xn -1 + … + a1 x + a0 . On appelle degré de P le degré de son monôme de plus haut degré (ici, c'est n). On appelle coefficient de rang i le coefficient de xi dans le polynôme (noté ai). Exemples P1 = 2x2 - 3x 3 + x2 – 4x – 2 + 3x – 5 P2 = x5 – x3 + x4 – 2 x2 + x5 +1 On appelle fonction polynôme correspondant à P la fonction qui à tout x fait correspondre la valeur P(x) prise

cerain rang. Si limn→+∞(vn)=+∞ (-∞) alors limn→+∞(un)=+∞ (-∞) » Soit A un réel quelconque on cherche un entier n0 tel que pour tout entier n≥n0, un0.>A. Or u un≥vn à partir d’un certain rang n1 c.a.d pour tout n≥n1, un≥vn. De plus limn→+∞(vn)=+∞ donc il existe un rang n2.tel que pour tout n≥n2, vn>A. On pose n0.=Max(|n1|,|n2|). Ainsi pour tout entier n≥n0, un≥vn>A Donc un>A et donc limn→+∞(un)=+∞ « Soient (un), (vn) et (wn) trois suites telles que vn≤un≤wn à partir d’un certain rang.

par récurrence : Initialisation : On a bien u0 = 2×0,90 −3 = 2−3 =−1 : la relation est vraie au rang 0; Hérédité : On suppose que pour n ∈N, un = 2×0,9n −3. Alors par définition de la suite un+1 = 0,9un −0,3 ou un+1 = 0,9(2×0,9n −3)−0,3 = 2× 0,9n+1 −2,7−0,3 = 2×0,9n+1 −3. La relation est vraie au rang n +1. Conclusion : la relation est vraie au rang 0 et si elle est vraie n ∈ N elle l’est aussi au rang n +1. D’après le principe de récurrence : un = 2×0,9n −3, n ∈N. b. On sait que 0 < 0,9 < 1

l’usager de vérifier les informations données par comparaison à la littérature existante. SPIN : 11747024 Couverture : Jean-François Montmarché Préface Paul Erd˝ s aimait parler du Grand Livre, dans lequel Dieu inscrit les preuves o parfaites des théorèmes mathématiques, suivant ainsi la remarque de Hardy : il n’y a pas de lieu permanent pour les mathématiques laides. Erd˝ s disait o aussi que l’on n’a pas besoin de croire en Dieu, mais qu’en tant que mathématicien, on doit croire au Grand Livre. Il

13 + 23 + 33 = 36, c 4 = 13 + 23 + 33 + 4 3 = 100. Il semble donc que c n = en2 . ᕢ On a c = 1 et 1 n 2 (n + 1)2 12 (1+ 1)2 » est vraie = 1 donc la proposition « c n = 4 4 pour n = 1. Supposons qu’elle le soit pour un rang n = k et montrons qu’elle l’est alors k 2 (k + 1)2 au rang suivant n = k + 1. Autrement dit, supposons que c k = et 4 (k + 1)2 (k + 2)2 . On a : montrons sous cette hypothèse que c k +1 = 4 c k +1 = c k + (k + 1)3 = k 2 (k + 1)2 k 2 (k + 1)2 + 4(k + 1)3 + (k + 1)3 = 4 4 (k +

éventuellement6 plus grandes que toute quantité finie fixée à l’avance. Par exemple, si (un ) est une suite d’entiers, on dit que (un ) tend vers l’infini (en symboles, un → +∞) ssi ∀A ∈ N (« pour toute quantité finie fixée à l’avance ») ∃N ∈ N (« il existe un rang ») ∀n ≥ N (« à partir duquel ») un ≥ A (« la suite dépasse la quantité fixée »). Autrement dit, la suite n’atteint jamais une valeur « infinie », elle atteint simplement des valeurs finies aussi grandes que souhaitées. 4 infiniment, 5 Est-ce pour être

1] , |xα (t) − xβ (t)| 2 |α − β| e2M (A)t 1 avec y(0) = a > 0 y Montrer que β = +∞. Exercice 14 Centrale MP [ 03739 ] [correction] On considère l’équation différentielle (E) : x (t) = cos (2π(x(t) − t)) a) Rappeler l’énoncé du théorème de Cauchy-Lipschitz qui s’applique ici. b) Soit x une solution de (E). Montrer que x est lipschitzienne. c) Soit x une solution maximale de (E) et I = ]a, b[ son intervalle de définition. Montrer que I = R. d) Si x est solution maximale de (E)

plus élevé possible) et responsable de la politique monétaire. En émettant les billets, la banque centrale régule la masse monétaire. Le rôle de préteur en dernier ressort consiste à prêter de l’argent à n’importe quel moment aux banques de second rang (taux des facilitées permanentes de prêt marginal). Il est de 0,75%, c’est le plus élevé. Le taux des opérations principales est de 0,25% (taux directeur, même taux que la réserve fédérale aux USA). Objectif prioritaire de la banque centrale est

mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 26/08/14 BANQUE ANALYSE EXERCICE 1 analyse Énoncé exercice 1 1. On considère deux suites numériques (un )n∈N et (vn )n∈N telles que un ∼ vn . +∞ Démontrer que un et vn sont de même signe à partir d’un certain rang. 1 1 2. Déterminer le signe, au voisinage de l’infini, de : un = sh − tan . n n Corrigé exercice 1 1. Puisque un ∼ vn , on peut écrire, au voisinage de +∞, un = vn + o(vn ). +∞ o(vn ) = εn vn avec lim εn = 0. n→+∞ lim εn = 0 donc il existe entier