Théorème du rang

catégories d'hypothèses : Hypothèses stochastiques • • • • • • , et gaussien). Hypothèses structurelles • absence de colinéarité entre les variables explicatives, i.e. X 'X est régulière, det(X 'X) ≠ 0 et (X 'X)-1 existe (remarque : c'est équivalent à rang(X) = rang(X 'X) = p + 1) ; • • tend vers une matrice finie non singulière lorsque n → +∞ ; Les X j sont déterminées sans erreurs, j = 1, …, p ; Le modèle est bien spécifié en moyenne ; Homoscédasticité des erreurs (variance constante) Pas d'autocorrélation

. . . . . Récurrence et transience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Théorèmes limites . Cas j transient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mesures invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Période d’un état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas des chaînes irréductibles

f. 7. Diagonaliser f , soit directement, soit en utilisant ce qui précède. EXERCICE 7. Etudier le rang, l’image, le noyau, les sous-espaces propres, l’opérateur associé à :  −1 / 2 −1 /  A =  −1 / 2 1/  0  le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de 2 1/ 2 2 1/ 2 0 1      . Peut-on diagonaliser cette matrice ? EXERCICE 8. Etudier le rang, l’image, le noyau, les sous-espaces propres, le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de l’opérateur

voisinage de +∞). t D’après le théorème de continuité des intégrales à paramètres, la fonction f1 est continue sur R. 3. f2 (0) = 0 puis, si x > 0, +∞ f2 (x) = 0 xe−xt dt = −e−xt +∞ 0 = 1 − lim e−xt = 1 (car x > 0). t→+∞ Donc, ∀x 0, f2 (x) = 0 si x = 0 . 1 si x > 0 donc nécessaire pour être sûr de la continuité de la fonction x → f2 n’est pas continue en 0. Comme la fonction g : (x, t) → xe−xt vérifie les deux premières hypothèses du théorème de continuité des intégrales à

L (f(t) . g(t)) ≠ L(f(t)) × L (g(t)) c- Produit de convolution: ( )( ) ( ) ( )∫ ∞+ ∞− −= dxxtgxftgf * (c’est le produit de convolution) L (f(t)*g(t)) = L(f(t)) . L (g(t)) d- Théorème des limites: Le théorème de la valeur initiale: ( ) ( )pFptf pt ∞+→→ = + limlim 0 L. EL MENZHI Le théorème de la valeur finale: ( ) ( )pFptf pt +→∞+→ = 0 limlim e- Dérivation et intégration: • Dérivation: étant donnée une fonction f(t) définie positive et dérivable sur IR+*, alors la transformée

donc qu’ seul un point d’ accumulation. Il est souvent important de connaître la nature d’ une suite (convergente ou divergente) sans que l’ sache sa limite. Dans ce cas, on utilise le théorème suivant : on Théorème 4.1.1 (Cauchy) Une suite (xn )n2N est convergente si et seulement si, pour tout " > 0 il existe un rang N (") tel que pour tout n > N (") on a jxn+p quelque soit p 2 N: Propriétés : 1. Toute suite convergente admait une seule limite. 2. Toute sous-suite d’ une suite convergente est convergente

1  a  " 2 Initialisation :  v0  20   v0   v0 donc P  0  est vraie 1 Propagation : Supposons P  n  vraie pour un rang n fixé quelconque dans , alors vn   v0  2 n or d’après la question 3a, vn1  vn2 2 2  2n 2 2n 1  donc vn1    v0     v0    v0  c’est à dire P  n  1 vraie.   Conclusion : La proposition P  n  est vraie au rang 0 , et est héréditaire, donc, d’après l’axiome de récurrence, la proposition n 0 1 u0 1b) u1 u2 u3 P  n  est vraie pour

(H2 ) de centrages, décorrélations et homoscédasticités des erreurs εi du modèle, on peut déjà donner certaines propriétés des estimateurs βˆ1 et βˆ2 des moindres carrés. Arnaud Guyader - Rennes 2 Régression 1.2. Moindres Carrés Ordinaires 5 Théorème 1.1 (Estimateurs sans biais) βˆ1 et βˆ2 sont des estimateurs sans biais de β1 et β2 . Preuve. Partons de l’écriture (1.3) pour βˆ2 : βˆ2 = β2 + (xi − x ¯)εi . (xi − x ¯)2 Dans cette expression, seuls les bruits εi sont aléatoires, et puisqu’ils

compris. Apprendre « par cœur » n’est pas suffisant, même si c’est nécessaire pour certaines parties comme les théorèmes (math), lois (physique chimie), schémas (SVT)….: il faut savoir ensuite appliquer vos connaissances dans différentes situations. Faire les exercices qui vous permettent de faire cette application. - Revoir les contrôles précédents : si vous avez eu une mauvaise note, ne pas ranger votre copie en vous disant « c’est raté, n’en parlons plus » … vous devez comprendre pourquoi c’est raté

lorsqu’on le divise par 12 le reste est 6 et lorsqu’on le divise par 19 le reste est 13. On divise n par 228 = 12  19. Quel est le reste r de cette division ? Correction :  n  13  19   n  13  19 k .   S    n  6  12   n  6  12k   1. Théorème de Bézout : 19 et 12 sont premiers entre eux donc il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel que : 19u + 12v = 1. N  13  12v  6  19u est une solution de (S) : il faut mettre N sous la forme N  13  19k . Or 12v  1  19u donc N  13