Variables

converge et que lim un = 1. n 1 Exercice 2 Dans cet exercice, p désigne un réel de ]0, 1[ et on note q = 1 – p. On considère deux variables aléatoires X et Y définies sur le même espace probabilisé ( , A, P ), indépendantes et suivant toutes deux la même loi géométrique de paramètre p. 1) On pose Z = Inf (X, Y) et on admet que Z est une variable aléatoire, elle aussi définie sur l’espace probabilisé ( , A, P ). On rappelle que, pour tout entier naturel k, on a l’égalité : (Z > k) = (X

Fiche rappels I. Variable aléatoire 1. Définition et exemple Ex : On lance une pièce de monnaie équilibrée deux fois de suite et on note à chaque lancer P ou F selon que l'on obtient pile ou face. On convient qu'obtenir pile fait gagner 1 € et obtenir face fait perdre 2 € . Définition : - On note Ω l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire. - Une variable aléatoire discrète X définie sur Ω est une fonction qui à chaque issue de Ω associe un réel. Ex : Ici, - Ω ={FF, FP, PF, PP}. - La fonction

5. Réduction de la probabilité de ruine de l'assureur 6. Compléments sur la probabilité de ruine : quelques inégalités Enoncés et corrigés des exercices du chapitre 1 Chapitre 2 : Les fonctions probabilistes de l’assurance vie 1. Les principales variables influant de la mortalité humaine 2. Un modèle probabiliste pour représenter la durée de la vie humaine 3. L'indicateur de survie 4. Le nombre moyen de vivants et la loi de survie 5. Autres fonctions probabilistes de l'assurance vie 6. Les facteurs

contraire de E2 , donc : P(E3) = 1 – P(E2) = 1 – 0,0347 = 0,9653 B – Loi binomiale D : une composition florale prélevée au hasard est défectueuse P(D) = 0,025 On prélève au hasard 12 compositions florales (assimilé à un tirage avec remise) X est la variable aléatoire, qui, à tout prélèvement ainsi défini associe le nombre de compositions qui sont défectueuses. 1. On effectue un prélèvement 12 fois de suite, les épreuves sont indépendantes 2 à 2 et il y a 2 issues : La composition est défectueuse p =

obtenu pour le second dé est pair” ; C =“la somme des deux dés est impaire”. 3 Variables aléatoires discrètes Exercice 3.1 On lance une fois un dé non-pipé. 1. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de points du dé. Quelle est la loi de X ? Quelle est la valeur moyenne de X ? 2. On suppose qu’on reçoit 15 euros si on obtient 1, 5 euros si on obtient 5 ou 6 et rien si on obtient 2, 3 ou 4. Soit Y la variable aléatoire égale au gain de ce jeu. Quelle est la loi de Y ? Que vaut le gain moyen

individus de la population, le caractère peut a priori prendre des valeurs aléatoirement différentes. Ainsi, le caractère peut être représenter par une variable aléatoire X. Lorsque le caractère est quantitatif (taille des individus,...), X sera une variable aléatoire égale aux valeurs du caractère ; on supposera en général que X est une variable aléatoire d’espérance mathématique (moyenne) , d’écart-type , et éventuellement de loi normale. Lorsqu’on n’a pas accès à l’ensemble de la population

facteurs invariants (dans notre cas la variable EXT) Les estimateurs obtenus sont sans biais mais non efficaces Problème d’identification de l’impact des facteurs invariants dans le temps - Contrôle l’hétérogénéité non observable : Ui (aléatoire) Dimension temporelle et individuelle (variabilité intra et inter individuelle) Degrés de liberté : N*T-K Estimation par les MCO du modèle transformé Tient compte des facteurs invariants (dans notre cas la variable EXT) Les estimateurs obtenus sont efficaces

Désignons par X la variable aléatoire qui, à tout élément de P associe la valeur 1 si cet élément possède le caractère C et la valeur 0 s’il ne le possède pas. Soit p la fréquence ou le pourcentage du caractère C dans la population. 1. 2. Constitution d’un échantillon Prélevons, dans la population P, un échantillon aléatoire de taille n et désignons par K la variable aléatoire qui, à cet échantillon, associe le nombre des éléments qui possèdent le caractère C et par F la variable aléatoire qui,

après avoir distribué des questionnaires à ces étudiants, nous avons créé des tableaux à deux variables pour étudier ce cas. Dans le premier tableau, la variable indépendante est le niveau d’étude des étudiants, que l’on considère comme l’âge puisqu’en secondaire 1, les jeunes ont entre 12 et 13 ans, en secondaire 5 ils ont entre 16 et 17ans et qu’au cegep, ils ont généralement entre 17 et 20 ans. La variable dépendante est le fait de dormir avec son téléphone portable allumé à coté de soi. On constate

(Source : Ministère des transports). 4 CHAPITRE 1. PROCESSUS STOCHASTIQUES 1.3 Processus stochastiques Le cadre nécessaire à l’ étude des processus stochastiques est celui d’ espace de probabilité et l’ un introduction de la notion de variable aléatoire. Rappelons simplement quelques dé…nitions de base en renvoyant le lecteur à ses cours des premières années, au livre complet, d’ bon niveau, de Neveu ou au un livre d’ Ouvrard, très riche en exemples. Dé…nition 1.1 Un espace de probabilité