Vecteur d'onde

propre associ´e e Ainsi, α = 2 2 au vecteur propre X. Le sous-espace propre associ´ est donc de dimension 1. e L’homoth´tie u0 est diagonalisable. Dans le cas g´n´ral, uλ l’est ´galement e e e e puisque la somme des dimensions des sous-espaces propres est ´gale ` n + 1, e a qui est la dimension de E. Exercice 2.2. Soit E un espace vectoriel r´el de dimension finie n 2 et E1 , E2 deux souse espaces vectoriels de E, suppl´mentaires dans E et non r´duits au vecteur e e nul. Soit u1 ∈ L(E1 ), u2 ∈ L(E2

M dans l'espace dans le but de déterminer les composantes du vecteur position OM et des vecteurs qui pourront être définis à partir de celui là (la vitesse et l’accélération par exemple). On choisit donc un repère d'espace dans lequel on cherche à déterminer les composantes des vecteurs. Ce choix est orienté par la géométrie du problème. I.1.1 Repère cartésien C'est un repère d'espace orthonormé, noté R, d'origine O et de vecteurs de    base ( i , j , k ) . La position du point M est caractérisée

également : FICHE SYNTHESE : DIAGONALISATION DES MATRICES A- VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES Définitions : Soit A une matrice carrée d’ordre n, on appelle : * Valeur propre de A tout nombre tel qu’il existe une matrice colonne non nulle X vérifiant : * Vecteur propre de A toute matrice colonne X non nulle telle qu’il existe vérifiant : * Soit A une matrice carrée d’ordre n, on dira qu’elle est

OP = (OM , ON ) décrit la trajectoire de phase du mobile. Pour un mouvement à un degré de liberté, le point de phase P se déplace dans le plan de phase : —➞ OP = (x(t), v(t)). ◗ VITESSE D’UN POINT Soit O un point fixe du référentiel ᏾ . Le vecteur vitesse de M par rapport à ce référentiel est : —➞ dOM v➞(M)/ ᏾ = ᎏ / ᏾ dt ➞ · ➞ · ➞ ·➞ Expression en coordonnées cartésiennes : v (M) = • / ᏾ x ex + y ey + z ez . ΂ • Expression en coordonnées cylindriques : ΃ y er eθ

de vecteurs/facteurs <- Affectation : y<-a*x+b vector Crée un nouveau vecteur factor Crée un nouveau facteur ordered Crée un nouveau facteur ordonné c Concatène : y<-c(2,3,0,6,10) : Série entière : 5:9 équivaut à c(5,6,7,8,9) seq Crée une séquence rep Crée un vecteur répétition d’un motif donné length Donne la longueur d’un vecteur [] Sous vecteur : x[3], x[3:8], x[x > 0], x[c(T,F)] + - /* Opérateurs mathématiques unique Renvoie un vecteur sans éléments répétés as.vector Convertit en vecteur as.factor

6 ÉTAPES Petits rappels de théorie Étant donnée une matrice 2 × 2 A= 1. A est diagonale si A = a b , c d λ1 0 ; 0 λ2 2. A est diagonalisable s’il existe une matrice inversible P telle que P −1 AP = ∆, où ∆ est diagonale. 0 x 3. v = ,v= est un vecteur propre pour A, de valeur propre λ, si Av = λv. y 0 La recette Considérons par exemple A= 1 2 . 2 1 1. Polynôme caractéristique de A : c’est pA (x) = det(A − xI2 ). Ici pA (x) = det A = 1 2 x 0 − 2 1 0 x = det 1−x 2 2 1−x = (1 − x)2 − 2 · 2 =

f= @2f @2f @2f + 2 + 2 2 @x @y @z ! Exercice 2 Soit le champ de vecteurs V (M ) = (x2 + y 2 ! ! ! ! ! (x2 z) k : calculer divV; (Rot V ; div(Rot V ) Exercice 3 Soit f : R3 ! R dé…nie par f (x) = x2 ! z) i + (2xy ! yz) j + x : + y2 + z2 ! ! ! calculer Gradf; Rot(Gradf) ; 0.2 Dérivées directionnelles Exercice 4 a)Trouver la dérivée directionnelle du champ: U = 2x3 y ! en P(1,2,-1) dans la direction dé…nie par le vecteur P Q; Q(3; 1; 5) 3y 2 z; b) Dans quelle direction cette dérivée est-elle

composants du vecteur A lM ®E IV.- Espérance mathématique et matrices des variances covariances des estimateurs …à suivre… I.- Position du problème : Le modèle de régression linéaire multiple est de la forme : ero Y = a1 X 1 + a2 X 2 + L + ak X k + ε , où Y est la variable à expliquer,. ua X1,X2,…,Xk ce sont les variables explicatives. a1,a2,…,ak ce sont les paramètres du modèle. ni ε est l’erreur aléatoire, inconnue et centrée. Les variables Y, X1,X2,…,Xk et ε sont des vecteurs de n composantes

Vecteurs et torseurs I. Rappels de quelques notions fondamentales. 1. Grandeurs physiques. Une grandeur dite scalaire est caractérisée par un nombre (« intensité ») et une unité. Exemple : La température s’exprime en degré Kelvin (K). Une grandeur vectorielle est caractérisée par un vecteur et une unité. Un vecteur est lui-même caractérisé par un sens et une norme. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ avec norme de ⃗ , ‖ ⃗ ‖ et AB distance entre les points A et B. 2. Unités. Le système international est basé sur les 7 grandeurs

. . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Matrice de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` 1.2.2 Rotation d’un point appartenant a un solide . . . . . . . 1.2.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Rotation d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Propri´ t´ s des rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 1.2.6 Combinaison de rotations . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Repr´ sentation de l’orientation d’un solide dans l’espace e 1.3 Transformations