Chapitre 5 Algebre lineaire, enonces
Lorsque la dimension est in nie, on admettra que tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel possede des supplementaires et que tout espace vectoriel possededes bases. K designe toujours un corps commutatif. 1. Soit E un K -espace vectoriel. Soit F un sous-espace vectoriel de E . On de ni sur E la relation R suivante : (x R y) () (x ? y 2 F ). (a) Veri er que R est une relation d'equivalence. On note E 0 = E /F l'ensemble des classes d'equivalence pour cette relation. (b) Soit (X; Y ) 2 (E 0)2, soit 2 K . Veri er qu'il est possible de de nir X + Y comme etant la classe de x + y ou (x; y) 2 X Y et X comme etant la classe de x ou x 2 X . (c) Veri er que E 0 muni des deux lois precedentes est un K -espace vectoriel appele espace quotient de E par F . (d) Supposons E de dimension nie. Montrer que E 0 est de dimension nie egale a dim(E ) ? dim(F ). 2. Soit E = F1 F2 un K -espace vectoriel. Montrer que l'espace quotient E /F1 est isomorphe a F2. 3. (a) Soit f une application lineaire. Montrer qu'un supplementaire du noyau de f est isomorphe a l'image de f . (b) Soit E un K -espace vectoriel. Soit F un sous-espace vectoriel de E . Soient F1 et F2 deux supplementaires de F . Montrer qu'ils sont isomorphes. 4. Soient u 2 L(E; F ) et v 2 L(F; G). On suppose que Im(u) et Im(v) sont de codimensions1 nies. Que peut-on dire de Im(v u) ? 5. Montrer que la famille des fonctions t 2 R 7?! j t ? a j 2 R ou a 2 R est une famille libre. 6. Soit fa : R 7?! R telle que : fa(x) = x2 + 1 2 + 1 (a > 0). a Montrer que la famille (fa)a2R est libre. s'il possede un supplementaire de dimension nie; tous les supplementaires sont d'ailleurs de m^me e dimension nie.
1 Je rappelle qu'un sous-espace vectoriel F d'un espace vactoriel E est dit de codimension nie
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CHAPITRE 5. ALGEBRE LINEAIRE, ENONCES
7. Soit 2 R n Q tel qu'il existe p 2 N avec non nul tel que : n 2 Q. p 2 Q. Soit n le plus petit entier

(a) Montrer que X n ? n est