TS1

Contrôle du jeudi 17 janvier 2013
(50 minutes)

V. (1 point) Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (, P) qui suit la loi binomiale de paramètres n = 200 et p = 0,42. Pour quelle valeur de l’entier naturel k la probabilité P (X = k) est-elle maximale ? Répondre sans justifier ni faire de phrase.

Prénom et nom : .………………………………………………….

Note : …… /20
VI. (5 points)

……………………….

I. (2 points) Déterminer les dérivées des fonctions f et g définies respectivement sur I et J.
1 f ( x )  cos   ; I  * ; f '( x)  .................. x

g ( x)  sin  ln x  ; J  * ; g '( x)  ..................

Une machine doit produire chaque jour 5000 boulons. En fonctionnement normal, la probabilité qu’un boulon soit défectueux est de 0,01. Les défauts sont indépendants. Soit X la variable aléatoire associée au nombre de boulons défectueux. 1°) Quelle loi suit X ? Répondre avec précision. 2°) À l’aide de la calculatrice, déterminer les entiers a et b ainsi définis :

II. (4 points) Donner le domaine de résolution de l’équation (1) et des inéquations (2), (3), (4) puis les résoudre. 1°) ln  2 x  1  ln  2 x  1  ln  x  2  (1)

 a est le plus petit entier naturel tel que P (X  a) > 0,025 ;  b est le plus petit entier naturel tel que P (X  b)  0,975. 3°) En déduire l’intervalle de fluctuation I à 95 % de la fréquence de boulons défectueux dans les échantillons de taille 5000 issus de cette production (bornes écrites sous forme décimale). 4°) On observe qu’il y a 60 boulons défectueux. Peut-on penser qu’il y a un problème ? Justifier.

domaine de résolution : ………………… ; ensemble des solutions : S1  …………………… 2°) ln x  ln  x  3  2ln 2 (2) domaine de résolution : ………………… ; ensemble des solutions : S 2  …………………… 3°) ln(x + 2)  2ln x (3) domaine de résolution : ………………… ; ensemble des solutions : S3  …………………… 4°) …………………………………………………………………………………………………………………. 4°) ln(x + 2) > 2 (4) domaine de résolution :