- Chapitre 5 Valeurs propres et vecteurs propres Diagonalisation
Table des mati`res e
1 Valeurs propres et vecteurs propres 1.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 2 La diagonalisation d’une matrice 2.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2 CNS pour qu’une matrice soit diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Exemples 3.1 avec valeurs propres simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 avec valeurs propres multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 5 5 5 6 6 7

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1
1.1

Valeurs propres et vecteurs propres
D´finition e

D´finition 1 Soit une matrice A ∈ Mn (R) et λ ∈ R. e - λ est une valeur propre de A si ∃X ∈ Rn , X = O tel que AX = λX. - un tel vecteur X est alors appel´ vecteur propre de A associ´ a la valeur propre λ. e e` Remarque 1 - Le syst`me lin´aire AX = λX est r´soluble car il admet toujours au moins une solution : X = 0. e e e - Pour savoir si λ est une valeur propre de A, il faut savoir si le syst`me lin´aire AX = λX. (c’est ` e e a dire (A − λIn )X = 0) admet une solution autre que X = 0. Posons P (λ) = det(A − λIn ). P est un polynˆme de degr´ n en λ. o e Il est appel´ polynˆme caract´ristique de A. e o e Deux cas se pr´senteront : e 1er cas : Si P (λ) = det(A − λIn ) = 0, la matrice A − λIn est inversible et donc, d’apr`s ce que nous avons vu dans les chapitres pr´c´dents, e e e le syst`me lin´aire aura une solution unique (qui sera X = 0). Ce cas ne nous int´ressera donc pas car e e e alors λ n’est pas valeur propre de A. ` 2eme cas : Si P (λ) = det(A − λIn ) = 0, la matrice A − λIn n’est pas inversible et donc rg(A − λIn ) < n. Le syst`me est alors r´soluble et e e ind´termin´, il admet donc une infinit´ de solutions. e