Partie IV : calcul opérationnel

La transformée de LAPLACE
Définitions.
Introduction.
Afin de résoudre plus rapidement des problèmes mathématiques pour des applications physiques réelles, ont été développées diverses méthodes fondées sur le remplacement de la variable réelle (temps, distance, ...) par des fonctions dépendant uniquement de la fréquence ou par des fonctions de variables complexes dépendant de la fréquence. C’est le cas de l’emploi des séries de Fourier qui permettent de simplifier l’analyse fréquentielle. Dans la transformation de Laplace, nous exposons une technique de transformation donnant des équivalences entre fonctions temporelles et des fonctions de variables complexes dépendant de la fréquence. Nous verrons que cette transformation permet de résoudre, entre autres, de nombreuses équations différentielles, utilisées en mécanique, électronique, automatique et électrotechnique.

Fonction causale.
Soit une fonction f de la variable réelle t, f(t), définie sur R et supposée nulle pour t < 0 alors f(t) est une fonction causale.

Définition de la transformée de Laplace.
On appelle transformée de Laplace de f la fonction F définie par:

F(p) = ¶ exp(−p $ t ) $ f(t) $ dt où p est une variable réelle ou complexe.
0

∞

Notations.
On écrira : F(p) = [f(t)] ou F(p) a f(t). Les symboles : et a signifient «transformée de Laplace de» Par la suite, on utilisera plutôt la notation : F(p) a f(t) où F est la transformée de f. L’application qui associe à f la transformée F : f  F est la transformation de Laplace.

→

F(p) est l’image opérationnelle de f(t).

Existence.
La transformée de Laplace d’une fonction f(t) n’existe que si l’intégrale sens, c’est à dire converge[1] aux deux limites 0 et +∞.

¶ e −p$t $ f(t) $ dt a un
0

∞

Remarque : le fait que, pour t < 0, f(t) doive être nulle dans la transformée de Laplace veut dire que, du point de vue physique, les phénomènes ont une origine des temps que l’on pourra choisir comme