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Université Paris VI Master 1 : Modèles stochastiques pour la finance

TD 12-14 : Viabilité, complétude, couverture dans des modèles à temps discret
On rappelle que proba risque neutre est synonyme de mesure martingale équivalente à la mesure µ. 1. Portefeuille auto-financé. On considère un espace mesuré (Ω, F, µ) muni d’une filtration I = (Fn )n≥0 supposée complète, vérifiant F0 = {∅, Ω} et F∞ =F. On considère F une marché discret comportant un actif sans risque B et d actifs risqués S = (S 1 , . . . , S d ) i où S est I -adapté : pour tout i ∈ {1, . . . , d}, pour tout n ≥ 0, Sn est la valeur de l’actif F S i au soir du n-ème jour après fermeture de la bourse (le soir du 0-ème jour désigne la valeur initiale). La dynamique de B est donnée par B0 = 1 et Bn = (1 + rn )Bn−1 où r = (rn )n≥0est positif I -prévisible : pour tout n ≥ 0, Bn est la valeur de l’actif B au F soir du n-ème jour après fermeture de la bourse (le soir du 0-ème jour désigne la valeur initiale). La vie d’un portefeuille est modélisée par un processus I -prévisible (β, α)n≥1 à F d i valeurs dans R × R : βn (resp. αn ) est la quantité d’actif sans risque (resp. d’actif risqué S i ) détenue sur la période allant dumatin du n-ème jour (avant ouverture de la bourse) au matin suivant. On note A l’ensemble des portefeuilles auto-financés. 1. Montrer que la condition d’autofinancement détermine entièrement β en fonction de α et de la valeur initiale du portefeuille x, et que pour tout processus prévisible (α) à valeurs dans Rd , on peut trouver un processus prévisible β à valeur dans R tel que (β, α) ∈ A devaleur initiale x. ˜ x,α 2. Donner, pour n ≥ 0, la valeur Vn du portefeuille le soir du n-ème jour actualisée à l’instant 0 (qui est sa valeur initiale si n = 0) en fonction de x, de (α) et des prix actualisés des actifs risqués sur l’intervalle [0, n]. 3. On suppose le marché viable. Que dire de ce processus ? Quelle est, pour tout n, ˜ x,α l’espérance conditionnelle, sous une mesure martingale, de Vnà un instant k < n (i.e. sachant Fk ) ? Solution : < ., . > désigne le produit scalaire canonique de Rd . 1. La valeur du portefeuille au matin du premier jour est sa valeur initiale x, et elle au aussi égale à B0 β1 + < α1 , S0 >. Donc β1 est déterminé par x et α1 . Soit n ≥ 1. La valeur du portefeuille au soir du n-ème jour (après fermeture de la bourse) est βn Bn + < αn , Sn >. Le lendemainmatin, avant ouverture de la bourse, le portefeuille est recomposé, et sa valeur devient βn+1 Bn + < αn+1 , Sn >. On a donc, en auto-financement, βn Bn + < αn , Sn >= βn+1 Bn + < αn+1 , Sn >, ce qui implique que ˜ βn+1 = βn + < αn − αn+1 , Sn >, 1

˜ avec Sn = Sn /Bn (valeur actualisée à l’instant 0 de Sn ). Ainsi, par récurrence, βn est déterminé par x et (α). 2. On déduit de ce qui précède queque pour tout n ≥ 1, ˜ x,α ˜ x,α ˜ ˜ Vn − Vn−1 =< αn , Sn − Sn−1 >, d’où pour tout n ≥ 0,
n

˜ x,α Vn = x +
t=1

˜ ˜ < αt , St − St−1 > .

3. Le marché étant viable, il existe une mesure martingale. Sous cette mesure, le ˜ x,α ˜ processus (Vn ) est une martingale. On en déduit que l’espérance conditionnelle est Vkx,α . 2. Etude d’un modèle simple de marché. On considère un marché à cinqétats Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ω5 }, deux périodes et trois actifs : un actif sans risque B de prix 1, de taux d’intérêt r = 0 et deux actifs risqués S a et S b . On fait les hypothèses suivantes sur les dynamiques de chaque actif risqué : a a. S0 = 6 et a a ((S1 , S2 )(ωi ))i=1,...,5 = ((5, 3), (5, 4), (5, 8), (7, 6), (7, 8)).
b b. S0 = 3.75 et b b ((S1 , S2 )(ωi ))i=1,...,5 = ((3, 2), (3, 3), (3, 4),(4.5, 4), (4.5, 5)).

On note F = P(Ω) et µ une mesure non redondante sur Ω (i.e. telle que pour tout i, µ({ωi }) > 0). 1. Représenter les dynamiques de prix sous forme d’arbre. On note, pour n ∈ {0, 1, 2}, Fn = σ{(Bi , Sia , Sib ), i ≤ n}. Déterminer F0 , F1 et F2 . 2. Déterminer l’ensemble des probabilités risque-neutre pour ce marché. Que dire du marché ? 3. On considère un actif dérivé...
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