Université Paris VI Master 1 : Modèles stochastiques pour la finance

TD 12-14 : Viabilité, complétude, couverture dans des modèles à temps discret
On rappelle que proba risque neutre est synonyme de mesure martingale équivalente à la mesure µ. 1. Portefeuille auto-financé. On considère un espace mesuré (Ω, F, µ) muni d’une filtration I = (Fn )n≥0 supposée complète, vérifiant F0 = {∅, Ω} et F∞ = F. On considère F une marché discret comportant un actif sans risque B et d actifs risqués S = (S 1 , . . . , S d ) i où S est I -adapté : pour tout i ∈ {1, . . . , d}, pour tout n ≥ 0, Sn est la valeur de l’actif F S i au soir du n-ème jour après fermeture de la bourse (le soir du 0-ème jour désigne la valeur initiale). La dynamique de B est donnée par B0 = 1 et Bn = (1 + rn )Bn−1 où r = (rn )n≥0 est positif I -prévisible : pour tout n ≥ 0, Bn est la valeur de l’actif B au F soir du n-ème jour après fermeture de la bourse (le soir du 0-ème jour désigne la valeur initiale). La vie d’un portefeuille est modélisée par un processus I -prévisible (β, α)n≥1 à F d i valeurs dans R × R : βn (resp. αn ) est la quantité d’actif sans risque (resp. d’actif risqué S i ) détenue sur la période allant du matin du n-ème jour (avant ouverture de la bourse) au matin suivant. On note A l’ensemble des portefeuilles auto-financés. 1. Montrer que la condition d’autofinancement détermine entièrement β en fonction de α et de la valeur initiale du portefeuille x, et que pour tout processus prévisible (α) à valeurs dans Rd , on peut trouver un processus prévisible β à valeur dans R tel que (β, α) ∈ A de valeur initiale x. ˜ x,α 2. Donner, pour n ≥ 0, la valeur Vn du portefeuille le soir du n-ème jour actualisée à l’instant 0 (qui est sa valeur initiale si n = 0) en fonction de x, de (α) et des prix actualisés des actifs risqués sur l’intervalle [0, n]. 3. On suppose le marché viable. Que dire de ce processus ? Quelle est, pour tout n, ˜ x,α l’espérance conditionnelle, sous une mesure martingale, de Vn