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  • Publié le : 23 août 2011
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Année universitaire 2010/2011

Probabilités et statistique descriptive

Lois discrètes :

Loi de poisson

[pic]

Auteurs : Encadrant :

➢ EL ATIFI Imad Mr. ABOUTAFAIL

➢ HOUMOURI Mehdi

➢ LAAOUINI Ali

Remerciement

Au terme de ce travail réalisé par

EL ATIFI Imad, HOUMOURI Mehdi et LAAOUINI Ali

Nous exprimonsnos remerciements a toute personne ayant collaboré de près ou de loin a sa finalisation.

Nos salutations vont avant tout à notre professeur

Mr. ABOUTAFAIL qui ne ménage aucun effort pour notre formation ainsi qu’à nos camarades de classe et à notre Institution IGA.

Plan

Introduction

Définition

Calcul de la probabilité de l’événement k 

Espérance, Variance, Ecart type et lafonction caractéristique 
Domaine d’application de la loi de poisson 

Diagrammes en bâtons 
Approximation de la loi de poisson par la loi normale 

Additivité de deux variables aléatoires de Poisson indépendantes 
Application 

Introduction :

En théorie des probabilités et en statistiques, la loi de Poisson est une loi de probabilité discrète qui décrit le comportement du nombred'évènements se produisant dans un laps de temps fixé, si ces évènements se produisent avec une fréquence moyenne connue et indépendamment du temps écoulé depuis l'évènement précédent. La loi de Poisson est également pertinente pour décrire le nombre d'évènements dans d'autres types d'intervalles, spatiaux plutôt que temporels, comme des segments, surfaces ou volumes.

La loi de Poisson a été introduiteen 1838 par Siméon-Denis Poisson (1781–1840), dans son ouvrage Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Le sujet principal de cet ouvrage consiste en certaines variables aléatoires N qui dénombrent, entre autres choses, le nombre d'occurrences (parfois appelées “arrivées”) qui prennent place pendant un laps de temps de longueur donnée.

La loi dePoisson (ou loi des évènements rares) est un modèle probabiliste qui convient particulièrement au phénomène de comptage d’évènements rares situés dans le temps ou dans l’espace.

• Exemple dans le temps :

le nombre de particules émises par une substance radioactive, le nombre d’erreurs téléphoniques enregistrées par une centrale téléphonique, le nombre d’accidents intervenus sur uneautoroute par jour, ….

• Exemple dans l’espace :

Le nombre de bactéries contenues dans une préparation microscopique, le nombre d’éléphants dans une jungle,…

Définition :

En statistique, la loi de Poisson de paramètre λ, ou loi des événements rares, correspond au modèle suivant:
Sur une période T, un événement arrive en moyenne λ fois. On appelle X la variable aléatoire déterminantle nombre de fois où l'événement se produit dans la période T. X prend des valeurs entières : 0, 1, 2, ...
Cette variable aléatoire suit une loi de probabilité définie par
[pic] Pour tout entier naturel k,

• e est la base de l'exponentielle (2,718...)

• k! est la factorielle de k

• λ est un nombre réel strictement positif

C'est la loi de Poisson de paramètre λ
Par exemple, si uncertain type d'évènements se produit en moyenne 4 fois par minute, pour étudier le nombre d'évènements se produisant dans un laps de temps de 10 minutes, on choisit comme modèle une loi de Poisson de paramètre λ = 10× 4 = 40

Calcul de la probabilité de l’événement k :

Ce calcul peut se faire de manière déductive en travaillant sur une loi binomiale de paramètres (T; λ/T). Pour T grand, ondémontre que la loi binomiale converge vers la loi de Poisson.
Il peut aussi se faire de manière inductive en étudiant sur l'intervalle [0; T] les fonctions Fk(t)= probabilité que l'événement se produise k fois sur l'intervalle de temps [0 ; t]. En utilisant la récurrence et du calcul différentiel, on parvient à retrouver les formules précédentes.

Exemple 1 :
Sur une autoroute, il y a en...
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