GRAPHES ALÉATOIRES D’ERDÖS-RÉNYI - CORRIGÉ
On a rédigé les programmes demandés en pseudo-code, les variables des programmes apparaissant en gras.
1.1 Le programme suivant tire au hasard un graphe de loi G(n, p), avec n ≥ 1 et p ∈ [0, 1] :
RandomGraph(n,p):
res = liste vide pour i entre 1 et n: pour j entre i+1 et n: alea = tirage d’une variable de Bernoulli de parametre p si alea == 1: adjoindre [i,j] a res retourner la liste res
1.2 Pour dessiner le graphe G(n, p), on peut utiliser le programme …afficher plus de contenu…

Ainsi,
E[In] = n e−λn
(
1 +O
(
(λn)
2
n
))
.
Pour la variance, on calcule
E[(In)2] = n∑ i=1
E[(Ai)2] + 2
∑
i<j
E[AiAj] = nE[A1] + n(n− 1)E[A1A2].
Le second terme E[A1A2] est l’espérance du produit de 2n− 3 variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre :
A1A2 =
(∏
j 6=1
(1−X1j)
)(∏ j 6=2
(1−X2j)
)
=
(∏ j≥3 (1−X1j)(1−X2j)
)
(1−X12)
2 =
(∏
j≥3
(1−X1j)(1−X2j)
)
(1−X12).
Donc, E[(In)2] = n (1− pn)n−1 + n(n− 1) (1− pn)2n−3, et var(In) = n (1− pn)n−1 + n(n− 1) (1− pn)2n−3 − n2 (1− pn)2n−2
= E[In] + (E[In])2
(
n− 1 n(1− pn)
− 1
)
= E[In] + λn − 1 n− λn
(E[In])2,
d’où l’inégalité de l’énoncé.
Supposons finalement λn � log n. Alors, E[In] ' exp(log n− λn) tend vers …afficher plus de contenu…

. . , ik)X(H, h1, . . . , hk)]− E[X(H, i1, . . . , ik)]E[X(H, h1, . . . , hk)].
On se demande alors à quelles conditions
E[X(H, i1, . . . , ik)X(H, h1, . . . , hk)]− E[X(H, i1, . . . , ik)]E[X(H, h1, . . . , hk)] = 0, c’est-à-dire, à quelles conditions X(H, i1, . . . , ik) et X(H, h1, . . . , hk) sont indépen- dantes. C’est le cas s’il existe une arête {j1, j2} de H, telle que {ij1 , ij2} = {hj1 , hj2}.
En particulier, card ({i1, . . . , ik} ∩ {h1, . . . , hk}) ≥ 2 pour les contributions non nulles à la somme var(I(H,Gn)). On sépare alors cette somme en deux parties :
(a) les contributions avec des indices tels que card ({i1, . . . , ik} ∩ {h1, . . . , hk}) ≥ 3 sont en nombre inférieur à O(n2k−3), et chaque contribution est inférieure