I. Description des processus TS et DS
On se limite aux processus non saisonniers. A. Les processus TS Un processus TS s’écrit: xt = ft + εtoùft est une fonction polynômiale du temps, linéaire et εtun processus stationnaire de type ARMA. Le processus TS le plus simple est représenté par une fonction polynômiale de degré 1. Ce processus s’écrit : xt=a0+a1t+ εt Siεt est un bruit blanc (gaussien ou non), les caractéristiques de ce processus sont alors: Ext= a0+a1t+Eεt= a0+a1t Vxt=0+Vεt= σε2 covxt , xt'=0 pour t≠ t' Ce processus TS est non stationnaire car Extdépend du temps. Comme cette espérance est égale àa0+a1t , il s’agit à l’instant td’un chiffre certain. Dans ce cas nous pouvons estimer de façon efficace les paramètresa0 et a1 de la tendance, en utilisant la méthode des moindres carrées ordinaires (MCO) sur les couples de valeursxt , t: ces estimateurs possèdent la propriété d’être BLUE et peuvent donc être employés par la suite pour réaliser une prévision de la chronique. Connaissant a0 et a1, le processus xtpeut-êtrestationnarisé en retranchant de la valeur dext ent, la valeur estiméea0 et a1 t . Dans ce type de modélisation, l’effet produit par un choc (ou par plusieurs chocs aléatoires) à un instant t est transitoire. Le modèle étant déterministe, la chronique retrouvera son mouvement de long terme qui est ici la droite de tendance. Il est possible de généraliser cet exemple à des fonctions polynomiales de degré quelconque mais aussi à des formesft non linéaires ou encore à des modèles où est un processus de type ARMA. B. Les processus DS Les processus DS sont des processus que l’on peut rendre stationnaire par l’utilisation d’un filtre aux différences:1-Bdxt= β+ εt oùεtest un processus stationnaire de type ARMA ou encore un bruit blanc, βune constante réelle et dl’ordre du filtre aux différences. Ces processus sont souvent représentés en utilisant le filtre aux différences premières (d= 1). Le processus est