Endomorphismes normaux

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Endomorphismes normaux
Notations. — Dans la suite K d´signe un corps commutatif de caract´ristique = 2 (et le plus e e souvent K = R ou C). 1. Endomorphismes remarquables d’un espace quadratique. D´finition . — On dit dit que le couple (E, φ) est un espace quadratique lorsque e E est un K-espace vectoriel et φ une forme bilin´aire sym´trique non d´g´n´r´e sur E, ie : e e e e e e ∀x ∈ E, (∀y ∈ E,φ(x, y) = 0 ⇒ x = 0). Dans la suite de cette section, on fixe (E, φ) un espace quadratique. D´finition . — Soit u ∈ L(E). S’il existe v ∈ L(E) tel que : e ∀x, y ∈ E, φ(u(x), y) = φ(x, v(y)), l’endomorphisme v est unique du fait du caract`re non d´g´n´r´ de φ. On dit alors que v est un e e e e e l’endomorphisme adjoint de u. On le note u∗ . Remarques. • Tous les endomorphismes n’admettent pasn´cessairement un adjoint (cf [Ram], e p.31) • Si u et v admettent des adjoints, il en est de mˆme de u ◦ v et (u ◦ v)∗ = v ∗ ◦ u∗ , u∗∗ = u. e • L’ensemble des endomorphismes de E admettant un adjoint est une sous-alg`bre de L(E). e L’application u → u∗ est lin´aire et involutive. e • Si u est un automorphisme de E et si u et u−1 admettent des adjoints, on a : (u∗ )−1 = (u−1 )∗ . Exercice 1. — Si u admetun adjoint et si H est un sous-espace stable de E par u, H ⊥ est stable par u∗ . Solution. Si y ∈ H ⊥ , x ∈ H, φ(x, u∗ (y)) = φ(u(x), y) = 0, puisque u(x) ∈ H;

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D´finitions . — • Un endomorphisme u de E est dit sym´trique (resp. antisym´trique) e e e ssi u∗ = u (resp. u∗ = −u). On note Sφ (E) et Aφ (E) les sous-ensembles des endomorphismes de E sym´triques et antisym´triques. Ce sont deuxsous-espaces suppl´mentaires de l’espace des e e e ∗ endomorphismes admettant un adjoint (poser u = 1/2(u + u ) + 1/2(u − u∗ )). • On dit qu’un automorphisme u de E est orthogonal ssi u admet un adjoint et u∗ = u−1 . D´finitions . — On dit qu’un endomorphisme u de E est normal ssi u admet un adjoint et e u et u∗ commutent. Remarques . — • Un endomorphisme sym´trique, antisym´trique ou orthogonal estnormal. e e • Clairement, si F est un sous-espace de E stable par un endomorphisme u sym´trique, e antisym´trique ou orthogonal, F est aussi stable par u∗ . On montrera (Lemme 8) que ce r´sultat est e e en r´alit´ vrai pour tous les endomorphismes normaux d’un espace euclidien de dimension finie. e e Remarques (dimension finie). • Si E est de dimension finie tout endomorphisme admet un adjoint, et siB = (e1 , · · · , en ) est une base de E, si Ω = (φ(ei ), φ(ek )) est la matrice (inversible) de φ dans E dans B, la matrice de u dans B ´tant M , la matrice M ∗ de u∗ dans B est : e M ∗ = Ω−1 · t M · Ω car ∀X, Y, t X t M ΩY =t XΩM ∗ Y . En particulier si φ est d´finie, le proc´d´ de Gram-Schmidt e e e permet de construire une base orthonorm´e de E et dans une telle base B, M ∗ = t M , puisquedans e ce cas Ω = In . n(n + 1) • Si E est de dimension finie, E = Sφ (E) ⊕ Aφ (E), dim(Sφ (E)) = , dim(Aφ (E)) = 2 n(n − 1) . 2 1 (1)

• La formule (1) montre, toujours si E est de dimension finie, que det(u) = det(u∗ ) et rg(u) = rg(u∗ ). • Si φ est de plus d´finie, si B est une base orthonorm´e de E et si M = Mat(u, B), on a : u est e e sym´trique (resp. antisym´trique, orthogonal, normal) ssi M =t M (resp. M = −t M , M −1 = t M , e e M · t M = t M · M ). Exercice 2. Soit (E, φ) un espace quadratique. i- Soit u un automorphisme d’un espace quadratique (E, φ). Montrer que u est orthogonal ssi φ(u(x), u(y)) = φ(x, y), pour tout x, y ∈ E. En d´duire que si H est un sous-espace de E invariant e par u (ie u(H) = H) alors H ⊥ est stable par u. ii- Montrer que u est un automorphisme orthogonalde E ssi u est une bijection telle que ∀x, y ∈ E, φ(u(x), u(y)) = φ(x, y). (Ind. Il suffit de prouver la lin´arit´ de u, consid´rer pour e e e cela z = u(αx + y) − αu(x) − u(y) et montrer que pour tout t ∈ E, φ(z, t) = 0 iii- Dans le cas o` E est de dimension finie, montrer que u est un automorphisme orthogonal de u e E ssi ∀x, y ∈ E, φ(u(x), u(y)) = φ(x, y) (Ind. Ici on ne peut plus a priori...
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