TS1-3 spé maths A rendre le lundi 8 novembre 2010.

DM3

Exercice 1 :

a) Justifier que : 10  – 1 [11] .

b) En déduire que, pour tout entier naturel non nul n, on a :
10 2n  1 [11] et 10 2n + 1  – 1[11].

c) On considère le nombre M = 91718.

Démontrer que M = (9 104) + (1 103) + (7 102) + (1 10 1) + 8 .

En utilisant les résultats du b), démontrer que M est divisible par 11.

Exercice 2 :

On se propose de déterminer les couples d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation

7n– 3×2m = 1 (F)

1. On suppose m 4.

Montrer qu’il y a exactement deux couples solutions.

2. On suppose maintenant m 5.

a. Montrer que si le couple(n ; m) vérifie la relation (F), alors : 7n  1[32]

b. En étudiant les restes de la division par 32 des puissances de 7 ,

montrer que si le couple (n ; m) vérifie la relation (F) , alors n est divisible par 4.

c. En déduire que si le couple(n ; m) vérifie la relation (F), alors : 7 n  1 [5]

d. Pour m 5, existe-t-il des couples (n ; m) d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation (F) ?
(raisonner par l’absurde)
(indication : on pourra étudier et utiliser les restes de la division par 5 des puissances de 2)

3. Conclure , c’est-à-dire , déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation (F).

Exercice 3 :

On considère, pour tout n *, les entiers A = n 2 – 3n + 6 et B = n – 2 .

1) Avec n = 79, calculer A et B , puis déterminer PGCD ( A ; B ) en utilisant un algorithme d’Euclide.

2)Démontrer que, pour tout n N *, on a : A = B ( n – 1 ) + 4 .

3) a)Démontrer que, pour tout a, b et k entiers relatifs, PGCD( a ; b ) = PGCD(a – kb ; b).

b)En déduire l’ensemble des valeurs de n pour lesquelles PGCD ( A ; B ) = 4 .

TS1-3 CORRIGE DM3

Exercice 1 :
a)10 = 11 – 1 donc 10
b)On sait