c'est-à-dire a ≡ a [mod p ] p Petit théorème de Fermat : Si p est premier et a un entier naturel alors p divise a − a , p Preuve : Montrons tout d’abord que pour tout entier k tel que1 ≤ k ≤ p − 1 , p divise   k   

 p

 p  p p!  = donc   k ! ( p − k )! = p × ( p − 1 )!    k  k ! ( p − k )! k     p donc p divise   k ! ( p − k )! k    or p est premier avec k ! ( p − k )! ( sinon (Gauss) il diviserait l’un des facteurs du produits ce qui n’est pas possible car tous les facteurs sont strictement inférieurs à p ) donc p divise   . k   

 p

Soit a ∈ N , notons Pa : p divise a − a p Montrons par récurrence sur a ∈ N que Pa est vraie pour tout a ∈ N

p divise 0 p − 0 = 0 donc P0 est vraie.
Soit a ∈ N supposons Pa vraie, prouvons que Pa +1 est vraie. p p −1 p  p   ( a + 1 ) p − ( a + 1 ) = ∑   a k − ( a + 1 ) = 1 + ∑   a p −k + a p − ( a + 1 )     k =0  k  k =1  k  p −1 p   = ∑   a p −k + a p − a   k =1  k  p −1 p  p   p −k or p divise   pour tout 1 ≤ k ≤ p − 1 donc p divise ∑  a k    k =1  k   

et p divise a − a ( Hypothèse de récurrence) donc p divise ( a + 1 ) − ( a + 1 ) p p

donc Pa +1 est vraie.

Lycée Berthelot L.Gulli

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preuve du petit théorème de Fermat