CG1

10/12/09

Devoir de mathématiques
La qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

E XERCICE (BTS, Nouvelle Calédonie octobre 2008)
Partie A

Étude d’une fonction

Soit f la fonction définie sur [4 ; 20] par : f (x) = 20 − 3x + 6e0,12x .
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal où l’unité est 1 cm pour 2.
1. a) Démontrer que, pour tout nombre réel x de [4 ; 20], f ′ (x) = 3 −1 + 0, 24e0,12x .
b) Résoudre dans [4 ; 20] l’équation : −1 + 0, 24e0,12x = 0. Donner la valeur exacte de la solution x 0 , puis sa valeur approchée arrondie à 10−2 .
c) Résoudre dans [4 ; 20] l’inéquation : −1 + 0, 24e0,12x

0.

′

d) Déduire de la question c) le signe de f (x) lorsque x varie dans [4 ; 20].
2. Compléter le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à 10−2 . x 4
8
x0
16
18
20
f (x)
3. Établir le tableau de variations de f . Dans ce tableau, on fera figurer les valeurs approchées de x 0 et f (x 0 ) obtenues dans le tableau ci-dessus.
4. Construire la courbe C dans le repère défini au début de cette partie.
5. Résoudre graphiquement dans [4 ; 20] l’équation f (x) = 20. On fera apparaître sur la figure les constructions utiles.
Partie B
On note I =

Calcul intégral
20

4

f (x) dx.

1. Démontrer que I = 50 e2,4 − e0,48 − 256.
2. a) En déduire la valeur moyenne Vm de la fonction f sur [4 ; 20].
b) Donner la valeur approchée arrondie à 10−2 de Vm .
Partie C

Application de la partie A

Une entreprise produit, chaque jour, entre 4 et 20 tonnes de sel pour l’industrie. On admet que lorsque x tonnes de sel sont produites, avec 4 x 20, le coût moyen de la production d’une tonne de sel est f (x) dizaines d’euros, où f est la fonction définie au début de la partie A.
1. Déterminer la quantité de sel à produire pour que le coût moyen de production d’une