´ Exercices - Relations d’ordre - relations d’equivalence
: ´nonc´ e e

Exercice 1 - Nature des relations - L1/Math Sup Dire si les relations suivantes sont r´flexives, sym´triques, antisym´triques, transitives : e e e 1. E = N et xRy ⇐⇒ x = −y ; 2. E = R et xRy ⇐⇒ cos2 x + sin2 y = 1 ; 3. E = N et xRy ⇐⇒ ∃p, q ≥ 1, y = pxq (p et q sont des entiers). Quelles sont parmi les exemples pr´c´dents les relations d’ordre et les relations d’´quivalence ? e e e

Exercice 2 - Relation d’´quivalence et fonction - Math Sup/L1 e
On d´finit sur R la relation xRy si et seulement si x2 − y 2 = x − y. e 1. Montrer que R est une relation d’´quivalence. e 2. Calculer la classe d’´quivalence d’un ´l´ment x de R. Combien y-a-t-il d’´l´ments dans e ee ee cette classe ?

Exercice 3 - Une relation d’´quivalence - L1/Math Sup e
On d´finit sur Z la relation xRy si et seulement si x + y est pair. Montrer qu’on d´finit ainsi e e une relation d’´quivalence. Quelles sont les classes d’´quivalence de cette relation ? e e

Exercice 4 - Relation d’´quivalence et th´orie des ensembles - L1/Math Sup e e
Soit E un ensemble non-vide et α ∈ P(E) v´rifiant la propri´t´ suivante : e ee ∀X, Y ∈ α, ∃Z ∈ α, Z ⊂ (X ∩ Y ). On d´finit sur P(E) la relation ∼ par A ∼ B ⇐⇒ ∃X ∈ α, X ∩ A = X ∩ B. Prouver que e ceci d´finit une relation d’´quivalence sur P(E). Quelles sont les classes d’´quivalence de ∅ et e e e de E ?

Exercice 5 - Une relation d’ordre sur les entiers - L1/Math Sup Montrer que la relation pRq ⇐⇒ ∃k ∈ N∗ , q = pk munit N∗ d’une structure partiellement ordonn´e. D´terminer les majorants de {2, 3} pour cet ordre. e e

Exercice 6 - Ordre sur R2 - L1/Math Sup On munit R2 de la relation not´e e (x, y) 1. D´montrer que e d´finie par e (x , y ) ⇐⇒ x ≤ x et y ≤ y .

est une relation d’ordre sur R2 . L’ordre est-il total ?

2. Le disque ferm´ de centre O et de rayon 1 a-t-il des majorants ? un plus grand ´l´ment ? e ee une borne sup´rieure ? e
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