Int gen

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Université de Cergy-Pontoise Licence S3 PC

2008-2009

cours no 2 : Intégrales généralisées
Rappelons que les inégrales de fonctions réelles ont été définies sur un segment pour des fonctions continues par morceaux. Il est possible de généraliser cette construction à un certain type de fonctions bornées, définies sur des segments (on parle d’intégrale de Riemann ou d’intégrabilité au snes deRiemann) dont les fonction monotones font parties. Dans ce cours, nous nous intéresserons à des fonctions définies sur un intervalle I qui ne sera pas un segment mais qui seront continues par morceaux sur tout segment inclus dans cet intervalle. Exemples : on rencontrera trois grand cas en fonction de I. Soient a < b deux réels fixés - I ∈ {]a, b], [a, b[, ]a, b[}. - I ∈ {]a, +∞[, [a, +∞[, ] − ∞, a[,] − ∞, a]}. - I = R. On veut alors proposer une définition dans un de ces cas de l’intégrale d’une fonction f sur un tel intervalle I que l’on notera bien s^r u
b

f (t)dt.
a

1

Etude du cas I =]a, b]

Définition 1.1 Soit f une fonction définie sur I =]a, b] continue par morceaux sur tout segment de I. Pour tout 0 < ε < b − a, on peut définir
b

Iε =
a−ε

f (t)dt.

Si la fonction ε→ Iε admet une limite I0 quand ε tend vers 0, alors on dit que
b

f (t)dt est une intégrale convergente (ou converge) et on pose
a b

f (t)dt = I0 .
a b

Sinon on dit que
a

f (t)dt est une intégrale divergente (ou diverge).

Exemple :

1 On définit sur ]0, 1] la fonction f par f (x) = E( x ). Cette fonction n’est pas continue par morceaux car elle a un nombre infini dediscontinuité, par contre elle est bien continue par morceaux sur tout segment de ]0, 1], en étu1 1

diant
1 n+1

f (x)dx on montre que
0 1

f (x)dx est divergente, par contre on peut

présentir que
0

f (t)dt est convergente.

Soit f une fonction définie sur I =]a, b] continue par morceaux sur tout segb

ment de I. Voici plusieurs cas où
a

f (t)dt est convergente :

1) La fonction fadmet une limite finie en a, on parle alors d’intégrale faussement impropre. sin(x) sur ]0, 1]. Ex : f : x → x 2) La fonction f est continue par morceaux sur tout segment de ]a, b] et bornée. 1 Ex : f : x → sin( x ) sur ]0, 1]. 3) Il existe une fonction F définie sur [a, b], dérivable sur I telle que F = f , alors
b

f (t)dt = F (b) − F (a).
a

1 Ex : f : x → √ sur ]0, 1]. t Signalons pourcommencer que l’on retrouve facilement les propriétés classiques (linéarité et Chasles) Proposition 1.2 Soient f et g deux fonctions continues par morceaux sur tout
b b

segment de ]a, b] alors si
a b

f (t)dt et
a

g(t)dt convergent alors

∀λ ∈ R,
a

f (t) + λg(t)dt

converge et
b b b

f (t) + λg(t)dt =
c a a

f (t)dt + λ
a

g(t)dt

∀c ∈]a, b],
a

f (t)dt

converge etb c b

f (t)dt =
a a

f (t)dt +
c

f (t)dt

Comme pour les séries numériques nous allons voir que le cas des fonctions de signe constant est plus facile à traiter. On introduit donc la notion suivante Définition 1.3 Soit f une fonction définie sur I =]a, b] continue par morceaux
b

sur tout segment de I. On dit que
b a

f (t)dt est absolument convergente si et

seulement si
a|f (t)|dt est convergente.

Proposition 1.4 Soit f une fonction définie sur I =]a, b] continue par morceaux
b

sur tout segment de I. Si convergente.
a

f (t)dt est absolument convergente alors elle est

Cas des fonctions de signe constant : Soient f et g deux fonctions définies sur I =]a, b] continues par morceaux sur tout segment de I telles que ∀x ∈ I, f (x), g(x) ≥ 0.
b b b

• Si f≤ g alors si
b a

g(t)dt converge alors
a

f (t)dt converge et si
a

f (t)dt

diverge alors
a

g(t)dt diverge.
b b

• Si f ∼ g alors a
a

f (t)dt et
a

g(t)dt sont de m^mes natures. e

Fonctions de références :
1

Les intégrales
0

1 dt sont convergentes si et seulement si α < 1. tα

Définition 1.5 Soit f une fonction définie sur I =]a, b] continue par morceaux
b...
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