` ´ Problemes de Mathematiques Dual topologique d’un espace p . Exemples de parties compactes de

2

´ Enonc´ e

Dual topologique d’un espace compactes de 2

p

. Exemples de parties

Dans tout le probl`me le corps de base des espaces vectoriels consid´r´s est C . Lorsque (E , · ) e ee est un espace vectoriel norm´, E d´signe l’espace des formes lin´aires continues sur (E , · ) . e e e Partie I [ I ] [ S ] 1) On d´signe par B la boule ferm´e unit´ de E , c’est ` dire l’ensemble des vecteurs x de e e e a E tels que x 1 . Montrer que l’on d´finit une norme | · | sur E par la formule : e ∗ ∗ ∗ ∀ x ∈ E , | x | = Sup |x (x)| . x∈B [ I ] [ S ] 2) Dans toute la suite on consid´rera l’espace norm´ (E , | · |) qui sera simplement not´ E e e e et appel´ dual topologique de E . e a) Soit (x∗ )n∈N une suite de Cauchy de E . Montrer que pour chaque x fix´ dans E , la e n ∗ suite xn (x) n∈N est convergente dans C . On associe ainsi, ` chaque x ∈ E , un unique a complexe lim x∗ (x) que l’on note x∗ (x) . n n→+∞ b) Montrer que l’application x∗ : E −→ C d´finie en a) est ´l´ment de E . e ee c) Montrer que lim | x∗ − x∗ | = 0 . n n→+∞ ´ [ I ] [ S ] 3) Enoncer le r´sultat de port´e g´n´rale d´montr´ dans cette partie. e e e e e e Partie II Soit
1

l’espace des suites (xn )n∈N telles que la s´rie e
1

xn soit absolument convergente. On
+∞

munit

de la norme d´finie par ∀ x ∈ e

∗

1

,

x

1

= n=0 |xn | . Soit
∞

∞

l’espace des suites
∞

born´es ` valeurs dans C , muni de la norme d´finie par ∀ x∗ ∈ e a e

,

x

= Sup |xn | . On n∈N note C0 le sous-espace de ∞ constitu´ des suites convergentes vers 0 et P l’ensemble des suites e complexes nulles au del` d’un certain rang. Pour n ∈ N on note δn l’´l´ment de P d´fini par a ee e δn = (δnk )n∈N o` δnk = 1 si n = k et 0 si n = k . u [ I ] [ S ] 1) a) V´rifier les inclusions P ⊂ e b) Comparer sur
1 1

⊂ C0 ⊂
1

∞

. ·
∞

la norme

·

avec la restriction de