DIAGONALISATION
EXERCICE 1.
E = R3 est rapporté à sa base canonique e = {e1 , e2 , e3 }. f est l’endomorphisme de matrice M dans cette base :

1 −1
1 


M =  −2
0 −1 


1 
 −2 −2

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Déterminer son polynôme caractéristique.
Calculer ses valeurs propres.
Donner une base des sous-espaces propres.
Décider si f est diagonalisable.
Donner éventuellement l’expression diagonalisée.
Vérifier en utilisant les matrices de changement de base.

EXERCICE 2.
Faire, pour la matrice A suivante, une étude semblable à celle de l’exercice 1 pour la matrice M :

3
5 −5 


A =  −5 −7
5 


3 
 −5 −5

EXERCICE 3.
E = R3 est rapporté à sa base canonique e = {e1 , e2 , e3 }. f est l’endomorphisme de matrice B dans cette base :

3 1
1 


B =  −1 1 −1 


0 0
1 


1.
2.
3.
4.
5.
6.

Déterminer son polynôme caractéristique.
Calculer ses valeurs propres.
Donner une base des sous-espaces propres.
Décider si f est diagonalisable.
Donner éventuellement l’expression diagonalisée.
Vérifier en utilisant les matrices de changement de base.

EXERCICE 4.
Faire, pour la matrice C suivante, une étude semblable à celle de l’exercice 3 pour la matrice B :

3 −1
1 −1 

0
1 0
0 

C=
2 −1 2 
 −4


1 −1 2 
 −2

EXERCICE 5.
Soit M une matrice 5×5 réelle dont le polynôme caractéristique est :
P (X) = (X + 1)2 (X − 2)3.
1. Quelles sont les valeurs propres de M ?
2. M est-elle diagonalisable ?
3. On suppose de plus que les sous-espaces propres sont de dimension 2. Que conclure ?

EXERCICE 6.
E = R4 est rapporté à sa base canonique e = {e1 , e2 , e3 , e4}. f est l’endomorphisme de matrice M dans cette base :
 2
0 0 0 
 4 −6 4 4 

M= 
 4 −4 2 4 


 0 −4 4 2 
1. Quelle est la matrice de g = f 2 dans la base {e} ?
2. Quels sont les vecteurs propres et les valeurs propres de g ?
3. Montrer que si λ est une valeur propre de f , alors µ = λ2 est