Enoncés et corrections : Sandra Delaunay

Exo7

Sujets de l’année 2005-2006

1

Devoir à la maison

Exercice 1
Soient a, b, c des réels vérifiant a2 + b2 + c2 = 1 et P la matrice réelle 3 × 3 suivante :

 2 a ab ac
P = ab b2 bc ac bc c2
1. Calculer le déterminant de P.
2. Déterminer les sous-espaces vectoriels de R3 , ker P et Im P.
3. Soit Q = I − P, calculer P2 , PQ, QP et Q2 .
4. Caractériser géométriquement P et Q.
Correction

[002578]

Exercice 2
Soit E un espace vectoriel sur un corps K (K = R ou C), et u un endomorphisme de E. On suppose u nilpotent, c’est-à-dire qu’il existe un entier strictement positif n tel que un = 0.
1. Montrer que u n’est pas inversible.
2. Déterminer les valeurs propres de u et les sous-espaces propres associés.
Correction

Exercice 3
Soit M la matrice de R4 suivante

[002579]



0
2
M=
0
0


1 0 0
0 −1 0

7 0 6
0 3 0

1. Déterminer les valeurs propres de M et ses sous-espaces propres.
2. Montrer que M est diagonalisable.
3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage.
4. On a D = P−1 MP, pour k ∈ N exprimer M k en fonction de Dk , puis calculer M k .
Correction

[002580]

1

2

Partiel

Exercice 4
Soit u l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est


−3 −2 −2
1
2
A= 2
3
3
2
1. Déterminer et factoriser le polynôme caractéristique de A.
2. Démontrer que les valeurs propres de A sont −1 et 2. Déterminer les sous-espaces propres associés.
3. Démontrer que A est diagonalisable et donner une base de R3 dans laquelle la matrice de u est diagonale.
4. Trouver une matrice P telle que P−1 AP soit diagonale.
Correction

[002581]

Exercice 5
Soit a ∈ R et A la matrice suivante



1 0 a
A = 0 a 1 a 1 0

1. Calculer le déterminant de A et déterminer pour quelles valeurs de a la matrice est inversible.
2. Calculer A−1 lorsque A est inversible.
Correction

Exercice 6


1
0
Soit A = 