Chapter 1

Rappels
1.1 Fonctions et applications

Soit f une fonction d’un ensemble E dans un ensemble F . Le domaine de d´finition de f est e l’ensemble des ´l´ments de E qui ont une image par f . On le note Dom(f ). L’image de f est ee l’ensemble des images des ´l´ments de Dom(E). ee Si f est d´finie partout, on dit que f est une application. On note F E l’ensemble des e applications de E dans F . Attention ` l’ordre dans la notation. a Il faut connaˆ les d´finitions suivantes, pour une application f de E dans F : ıtre e • f est injective quand deux ´l´ments distincts ont des images distinctes: ∀x, x ∈ E, ee x = x ⇒ f (x) = f (x ). Par contrapos´e, c’est ´quivalent ` ∀x, x ∈ E, f (x) = f (x ) ⇒ e e a x=x. • f est surjective quand tout ´l´ment de F a un ant´c´dent dans E: ∀y ∈ F , ∃xy ∈ E tel ee e e que f (xy ) = y. • f est bijective quand elle est ` la fois injective et surjective. a Soit E un ensemble. L’identit´ sur E est l’application IdE de E dans E d´finie pour tout e e x ∈ E par f (x) = x. Th´or`me 1 (caract´risation des bijections) Soit f une application de E dans F . f est e e e bijection si et seulement si il existe une application g de F dans E telle que f ◦ g = IdF et g ◦ f = IdE . On appelle alors g la r´ciproque de f et on la note f −1 . e

1.2

D´nombrements ´l´mentaires e ee

Soit E un ensemble fini. Son cardinal, not´ |E|, est son nombre d’´l´ments. e ee Soient A et B deux sous-ensembles d’un ensemble fini E, on a |A ∩ B| + |A ∪ B| = |A| + |B|. En particulier, si A et B sont disjoints, c’est-`-dire que A ∩ B = ∅, alors |A ∪ B| = |A| + |B|. a Et on a toujours, ce dont on se sert souvent, |A ∪ B| ≤ |A| + |B|. Soient E et F deux ensembles finis, on a 1

2 • |P(E)| = 2|E| , • |E × F | = |E| × |F |, • |F E | = |F ||E| , • si f est une injection de E dans F alors |E| ≤ |F |, • si f est une surjection de E dans F alors |E| ≥ |F |, • si f est une bijection de E dans F alors |E| = |F |,

CHAPTER 1. RAPPELS

1.3

Changements de base
7302 = 7 ×