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A 2009 MATH. I MP

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D’ADMISSION 2009

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Duréede l’épreuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP , Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP .

L’énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, aucours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Problème des moments
On note E l’ensemble des fonctions f continues, définies sur R, à valeurs positives ou nulles, et vérifiant l’équation
R

f (x)d x = 1.

Lorsqu’elle existe, lafonction caractéristique de f ∈ E est la fonction φ f : R → C définie par la formule φ f (t ) =
R

e i t x f (x)d x.

Lorsque pour un entier k 0, la fonction x → |x|k f (x) est intégrable sur R, on appelle moment d’ordre k de f la quantité ak ( f ) =
R

x k f (x)d x.

Si, pour tout entier k 0, la fonction x → |x|k f (x) est intégrable sur R, on dit que f admet des moments de tous ordres. Onadmettra que pour tout λ ∈ C, x2 dx = exp λx − 2 R λ2 2π exp . 2

A. Questions préliminaires.
Les résultats de ces questions, indépendantes les unes des autres, pourront être utilisés dans la suite du problème. 1) Soit f ∈ E . On suppose, dans cette question, que f admet des moments de tous ordres. Montrer l’existence de φ f et de ses dérivées successives que l’on exprimera à l’aide de f . 2)Montrer que pour tout réel x et tout entier n ei x − (i x)m m=0 m!
n−1

1,

|x|n · n!

3) Soit a, b ∈ R tels que a < b. Montrer que la fonction h a,b définie sur R par h a,b (t ) = est continue sur R. 2 e −i t a − e −i t b it b−a si si t =0 t =0

4) Montrer que pour tout réel t , |h a,b (t )| 5) Montrer que pour tout entier k 0, e k

b − a. kk · k!

B. La fonction φ f caractérise f
Onconsidère la fonction R définie pour tout (θ, T ) ∈ R × R+ par la formule
T

R(θ, T ) =

−T

sin(θt ) dt t sin x d x. x

et la fonction S définie pour tout T ∈ R par la formule
T

S(T ) = π On admet que limT →+∞ S(T ) = . 2 6) Exprimer R(θ, T ) à l’aide de S.

0

7) Soit x, y ∈ R. Calculer la limite de R(x, T ) − R(y, T ) quand T → +∞ (on discutera de cette limite en fonction des signesde x et y). 8) Soit a, b ∈ R tels que a < b. Montrer que 1 T →+∞ 2π lim
T −T b

h a,b (t )φ f (t )d t =

f (t )d t .
a

9) En déduire qu’étant donné deux fonctions f et g de E , si φ f = φg , alors f = g.

C. La suite a k ( f ) ne caractérise pas toujours f
On définit la fonction f 0 par  (ln x)2  1 exp −   2  x 2π f 0 (x) =     0 10) Montrer que f 0 ∈ E . 11) Montrer que f 0admet des moments de tous ordres et calculer a k ( f 0 ) pour tout k ∈ N. On introduit, pour a ∈ [−1, 1], la fonction f a définie sur R par la formule f a (x) = f 0 (x) · (1 + a sin(2π ln x)). 12) Montrer que f a ∈ E , et que a k ( f 0 ) = a k ( f a ) pour tout k ∈ N. 3

pour x > 0, pour x 0.

D. Une condition sur la suite a k ( f )
Dans cette partie, f est une fonction de E qui admet desmoments de tous ordres, et vérifie en outre la condition (U) suivante : (U) Il existe M > 0 tel que pour tout entier k > 0, 0 |x|k f (x)d x pour tout entier k > 0. 0, on a l’inégalité
2

a 2k ( f ) 2k 2k

1

M.

On pose b k ( f ) =

R

13) Montrer que, pour tout entier k b 2k+1 ( f )

a 2k ( f ) · a 2k+2 ( f ).
1

bk ( f ) k 14) En déduire que la suite de terme général est majorée...
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