A 2009 MATH. I MP

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D’ADMISSION 2009

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l’épreuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP , Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP .

L’énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Problème des moments
On note E l’ensemble des fonctions f continues, définies sur R, à valeurs positives ou nulles, et vérifiant l’équation
R

f (x)d x = 1.

Lorsqu’elle existe, la fonction caractéristique de f ∈ E est la fonction φ f : R → C définie par la formule φ f (t ) =
R

e i t x f (x)d x.

Lorsque pour un entier k 0, la fonction x → |x|k f (x) est intégrable sur R, on appelle moment d’ordre k de f la quantité ak ( f ) =
R

x k f (x)d x.

Si, pour tout entier k 0, la fonction x → |x|k f (x) est intégrable sur R, on dit que f admet des moments de tous ordres. On admettra que pour tout λ ∈ C, x2 dx = exp λx − 2 R λ2 2π exp . 2

A. Questions préliminaires.
Les résultats de ces questions, indépendantes les unes des autres, pourront être utilisés dans la suite du problème. 1) Soit f ∈ E . On suppose, dans cette question, que f admet des moments de tous ordres. Montrer l’existence de φ f et de ses dérivées successives que l’on exprimera à l’aide de f . 2)