RESOLUTION DES SYSTEMES LINEAIRES

1. PRELIMINAIRES 3

2. EXPOSE DE LA METHODE 5

3. RESUME DE LA METHODE DU PIVOT 12

4. SYSTEMES DEGENERES 14

4.1. SYSTEMES IMPOSSIBLES 14

4.2. SYSTEMES INDETERMINES 14

5. CONCLUSION 17

5.1. RESULTATS 17

5.2. SYSTEMES SUR LES CALCULATRICES 17

6. EXEMPLES 19

6.1. INDETERMINATION DOUBLE 19

6.2. MOINS D’EQUATIONS QUE D’INCONNUES 19

6.3. MOINS D’INCONNUES QUE D’EQUATIONS 20

6.4. UN RESULTAT « INATTENDU » 21

PRELIMINAIRES

Il existe beaucoup de méthodes de résolution des systèmes linéaires : substitution, méthode des combinaisons linéaires ou « d’addition », méthode des déterminants… La méthode dite du pivot de Gauss permet de résoudre de manière rapide et efficace les systèmes linéaires. Elle est utilisée par les ordinateurs car elle est de loin la plus performante. C’est aussi celle qu’on utilise en programmation linéaire et qui porte alors le nom de « méthode du simplexe ».

On considère le système de trois équations à trois inconnues suivant:

[pic] Dans ce système les inconnues sont notées x, y, z, et les aij représentent des coefficients réels. On remarquera que le premier indice dans aij, à savoir i, représente la ligne du coefficient et que le deuxième indice, à savoir j, représente la colonne. Sous cette présentation on dit que le système est mis sous forme canonique. De cette forme canonique, on en déduit la forme dite standard suivante:

|a11 |a12 |a13 |a14 |
|a21 |a22 |a23 |a24 |
|a31 |a32 |a33 |a34 |

Dans ce tableau on reconnaît que la première colonne représente les coefficients de l'inconnue x, la deuxième, ceux de l'inconnue y, et la troisième, ceux de l’inconnue z. La barre verticale qui sépare les colonnes correspondant aux inconnues de celle correspondant au deuxième membre des égalités se