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  • Publié le : 10 décembre 2009
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RESOLUTION DES SYSTEMES LINEAIRES

1. PRELIMINAIRES 3

2. EXPOSE DE LA METHODE 5

3. RESUME DE LA METHODE DU PIVOT 12

4. SYSTEMES DEGENERES 14

4.1. SYSTEMES IMPOSSIBLES 14

4.2. SYSTEMES INDETERMINES 14

5. CONCLUSION 17

5.1. RESULTATS 17

5.2. SYSTEMES SUR LES CALCULATRICES 17

6. EXEMPLES 19

6.1.INDETERMINATION DOUBLE 19

6.2. MOINS D’EQUATIONS QUE D’INCONNUES 19

6.3. MOINS D’INCONNUES QUE D’EQUATIONS 20

6.4. UN RESULTAT « INATTENDU » 21

PRELIMINAIRES

Il existe beaucoup de méthodes de résolution des systèmes linéaires : substitution, méthode des combinaisons linéaires ou « d’addition », méthode des déterminants…
La méthode dite dupivot de Gauss permet de résoudre de manière rapide et efficace les systèmes linéaires. Elle est utilisée par les ordinateurs car elle est de loin la plus performante. C’est aussi celle qu’on utilise en programmation linéaire et qui porte alors le nom de « méthode du simplexe ».

On considère le système de trois équations à trois inconnues suivant:

[pic]
Dans ce système lesinconnues sont notées x, y, z, et les aij représentent des coefficients réels. On remarquera que le premier indice dans aij, à savoir i, représente la ligne du coefficient et que le deuxième indice, à savoir j, représente la colonne. Sous cette présentation on dit que le système est mis sous forme canonique. De cette forme canonique, on en déduit la forme dite standard suivante:

|a11 |a12|a13 |a14 |
|a21 |a22 |a23 |a24 |
|a31 |a32 |a33 |a34 |

Dans ce tableau on reconnaît que la première colonne représente les coefficients de l'inconnue x, la deuxième, ceux de l'inconnue y, et la troisième, ceux de l’inconnue z. La barre verticale qui sépare les colonnes correspondant aux inconnues de celle correspondant au deuxième membre des égalités serévèlera utile pour exposer la méthode de résolution.
Ainsi, les formes standards et canoniques suivantes se correspondent:

Forme standard

|5 |3 |0 |-5 |
|0 |4 |-2 |7 |
|5 |1 |6 |0 |

Forme canonique

[pic]

Forme standard

|1 |0 |0 |64 |
|0 |1 |0 |-23 |
|0 |0 |1 |49,5|

Forme canonique

[pic]

La dernière forme standard écrite permet de lire directement les solutions (qui sont d'ailleurs celles du système initialement proposé). Le tableau constitué des 3 lignes et des 3 colonnes situées à gauche de la barre verticale et qui contient des "1" sur la diagonale (descendante) et des "0" partout ailleurs, est appelé matrice unité. Chaque colonne decette matrice unité s’appelle colonne unité. On peut donc considérer que si, par diverses transformations que l'on va détailler ci-dessous on obtient un tel tableau, le système est résolu.

Remarquons toutefois que si l'on obtient le tableau suivant (la partie gauche étant la matrice unité à une permutation des lignes près) le système peut encore être considéré comme résolu.

Forme standard|0 |1 |0 |-23 |
|1 |0 |0 |64 |
|0 |0 |1 |49,5 |

Forme canonique

[pic]

Le but de la méthode est donc de parvenir à cette matrice unité à une permutation des lignes près, donc de n’avoir que des colonnes unités distinctes à gauche de la barre.

Sachons toutefois qu’elle ne peut s’appliquer qu’à des systèmes linéaires(ou qui peuvent s’y ramener), c’est à dire des systèmes dont les équations ne sont constituées que de « combinaisons linéaires » des inconnues (sommes de multiplications des inconnues par un réel) et écrites sous forme canonique.

Ainsi le système de deux équations à deux inconnues ci-dessous n’est pas linéaire (la deuxième équation n’est pas linéaire alors que la première l’est mais...
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