Cours et exercices de mathématiques

M.CUAZ , http://mathscyr.free.fr

PRODUIT SCALAIRE
EXERCICES CORRIGES
Exercice n°1. (correction)
Répondre par VRAI (V) ou FAUX (F) :
Question 1
Soient A, B et C trois points distincts du plan.
JJJG JJJG
a) A, B et C sont alignés si et seulement si : AB ⋅ AC = AB × AC
JJJG JJJG
b) (AB) et (AC) sont orthogonales si et seulement si AB ⋅ AC = 0
JJJG JJJG
c) A est le milieu de [BC] si et seulement si : AB ⋅ AC = − AB 2
Question 2
Soit ABC un triangle équilatéral de centre O et de côté 2.
JJJG JJJG
JJJG JJJG
c)
a) OA ⋅ OB = −2
b) CA ⋅ OB = −2
Question 3
G
G
G
G
Soient u et v deux vecteurs tels que : u 2 = v 2 , alors :
G
G
G G
G
G
b) u = v
c)
a) u = v ou u = - v
Question 4
GG G G
G G G
Soient u , v et w trois vecteurs tels que : u .v = u .w , alors :

G

G

G G

JJJG JJJG JJJG JJJG
CA ⋅ CB = CA ⋅ CO

G G
G G u + v et u – v sont orthogonaux
G

G G

a) v = w
b) u = 0
c) u et v – w sont orthogonaux
Question 5
G
G
GG
G
G
Soient u et v deux vecteurs tels que : u .v = −3 u = 6 et v = 2 , alors :
G G 2π
a) ( u ; v ) =
3

G G

b) u + v = 2

G G

c) u − v = 14

Exercice n°2. (correction)
Dans la configuration ci-dessous, on a AB=7

JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
Déterminer, par lecture graphique, les produits scalaires : AB ⋅ AC ; BA ⋅ DB , AB ⋅ AE et AB ⋅ DE
Exercice n°3. (correction)
ABC est un triangle équilatéral de côté a
H est le projeté orthogonal de A sur (BC) et O le centre du cercle circonscrit à ABC.
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG
JJJG JJJG
Exprimer en fonction de a les produits scalaires suivants : AB ⋅ AC ; AC ⋅ CB , AB ⋅ AH , AH ⋅ BC et OA ⋅ OB
Exercice n°4. (correction)
G
G u et v sont deux vecteurs de même norme.
G G
G G
Démontrer que les vecteurs u + v et u − v sont deux vecteurs orthogonaux
Exercice n°5. (correction)

π

n = radians
A,B et C sont trois points du plan tels que AB=3 , AC=2 et BAC
3
G G
G JJJG
G JJJG
1) On pose u = AB et v = AC . Calculer u ⋅ v
JJJG
JJJG
G G
G
G
2) Construire les points D et