Exercice 1 : Soit [pic] une partie non vide de [pic] et [pic] une partie non vide de [pic] . On note [pic] l'ensemble des quotients d'un élément de [pic] par un élément de [pic] .
[pic]
1. Montrer que si [pic] est un minorant de [pic] et [pic] un majorant de [pic] alors [pic] est un minorant de [pic] . 2. Montrer que si [pic] n'est pas majorée alors : [pic] 3. Montrer que si [pic] et si [pic] n'est pas majorée, alors [pic] . 4. Montrer que si [pic] et si [pic] alors [pic] n'est pas borné. 5. On suppose que [pic] et [pic] sont deux intervalles. Montrer que [pic] est un intervalle. 6. Soit [pic] un réel strictement positif. On pose [pic] et [pic] . Montrer que [pic] .
[pic]
Exercice 2 : Dans tout l'exercice, [pic] désigne un irrationnel positif. 1. Montrer que pour tout [pic] , [pic] est irrationnel. 2. Montrer par un exemple que [pic] peut être rationnel. 3. Montrer que si [pic] est rationnel, alors pour tout [pic] , [pic] est rationnel et [pic] est irrationnel. 4. Soient [pic] deux rationnels. Montrer que [pic] est rationnel si et seulement si [pic] . 5. Soient [pic] quatre rationnels. On suppose que [pic] et [pic] ne sont pas tous les deux nuls. Montrer que [pic]est rationnel si et seulement si [pic] .
[pic]
Exercice 3 : Soient [pic] et [pic] deux réels quelconques. 1. Montrer, en utilisant l'inégalité triangulaire, que [pic] . 2. En déduire que [pic] .
[pic]
Exercice 4 : 1. Soit [pic] un réel et [pic] un entier. Montrer que [pic] . 2. Soient [pic] et [pic] deux réels. Montrer que [pic] .
Exercice 1 : 1. Pour tout [pic] , [pic] , donc [pic] . Pour tout [pic] , [pic] . Donc : [pic] Donc [pic] est un minorant de [pic] . 2. Soit [pic] un élément quelconque de [pic] . Comme [pic] n'est pas majoré, il existe [pic] tel que [pic] . Donc : [pic] Donc [pic] et [pic] . 3. Par hypothèse, tout élément de [pic] est positif ou nul. Donc 0 est un minorant de [pic]