Théoreme des valeurs intermédiaires :

Si f est une fonction continue et strictement monotone (monotone : Soit croissante tout le temps, soit décroissante tout le temps.) sur un intervalle [a , b] alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une solution unique dans l'intervalle [a , b]
On dit que f réalise/effectue une bijection (ou encore : est une bijection) de l'intervalle [a , b] sur l'intervalle [f(a) , f(b)] ou [f(b) , f(a)].

Existence d'une solution

L'existence d'une solution c dans [a , b] de l'équation f(x) = k est assurée par le théorème des valeurs intermédiaires puisque f est continue sur l'intervalle [a , b].

Raisonnons par l'absurde.

Supposons qu'il existe une autre valeur de l'intervalle [a , b] appelé c' tel que : f(c') = k avec cc'.
On a alors f(c) = f(c')
Puisque f est strictement monotone et cc' on a :

* soit f(c) < f(c') * soit f(c) > f(c')

Ce qui est absurde puisque f(c) = f(c').
Donc l'hypothèse de départ est fausse, donc c = c'. D'où l'unicité de la solution.

Conclusion

L'équation f(x) = k admet une seule et unique solution sur [a , b].

Théorème des gendarmes :

Théorème :

Si au voisinage de a, les fonctions f, g et h vérifient : g(x)œf(x)œh(x) Et si g et h convergent vers la même limite l en a, alors :
\lim_{x » a} f(x) = l

Démonstration :

Soit J, un intervalle centré en L.

* Puisque : \lim_{x »a} g(x) = l il existe un réél A \in ]€ ; +¸[ tel que, pour tout x>A : g(x) appartient à J.

* Puisque : \lim_{x » a} h(x) = l il existe un réél B \in ]€ ; +¸[ tel que, pour tout x>B : h(x) appartient à J.

* Soit C, le plus grand nombre de A et B. Pour tout x>C on a donc : g(x) appartient à J ET h(x) appartient à J. Comme g(x) œ f(x) œ h(x) On a donc : f(x) appartient à J.

Donc f admet pour limite l quand x tend vers a.
C'est-à-dire, en langage mathématique :
\lim_{x »a} f(x) = l

Suite