San rdm flexion traction compression

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Mécanique des structures

Caractéristiques géométriques des sections

TS

Chapitre 5 - Caractéristiques géométriques des sections
SOMMAIRE

I - Centre de gravité................................................................................................................. 64
1°/Définition.................................................................................................................................... 64 2°/ Théorèmes de Guldin. ............................................................................................................... 65

II - Moment statique d’une surface plane par rapport à un axe de son plan. ...................... 66
1°/Définition.................................................................................................................................... 66 2°/ Moment statique dans un système d’axes orthonormés ........................................................ 66 3°/ Moment statique des surfaces composées................................................................................ 66

III - Moment quadratique d’une surface plane par rapport à un axe de son plan .............. 66
1°/Définition.................................................................................................................................... 67 2°/ Théorème de Huygens............................................................................................................... 67 3°/ Moment quadratique des surfaces composées ........................................................................ 68 4°/ Rayon degiration ...................................................................................................................... 68

IV - Applications...................................................................................................................... 68
1°/ Moment statique d’un rectangle par rapport à un de ses côtés. ........................................... 68 2°/ Momentquadratique d’un rectangle par rapport à un de ses côtés..................................... 68 3°/ Moment quadratique d’un rectangle par rapport aux axes de symétrie. ............................ 69

Formulaire Centre de gravité.................................................................................................. 70 Formulaire Moment quadratique........................................................................................... 71

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Mécanique des structures

Caractéristiques géométriques des sections

TS

I - CENTRE DE GRAVITE
1°/ Définition
Considérons, dans l’espace, un solide comme étant constitué d’un ensemble de n points matériels M1, M2, …, Mi, …, Mn, de masse respective dm1, dm2, …, dmi, …, dmn. Ce solide est de volume V.
y M1 G O z x MiMn

Par définition, le centre de gravité de l’ensemble des n points est le point G tel que :



V

GM i .dm = 0

G est aussi appelé centre de masse.

Pour déterminer la position de G dans le repère (O, x, y, z), il faut mettre cette définition sous une forme plus facile à exploiter : GM i = GO + OM i = OM i − OG
⇒ ∫ OM i − OG .dm = 0
V

(

)

∫ ⇔∫ ⇔∫


V

OM i .dm − ∫ OG.dm = 0
V

V

OM i .dm −OG ∫ dm = 0
V

V

OM i .dm −OG .m = 0

⇔ OG =



V

OM i .dm m

(1)

Soient xi, yi et zi les coordonnées du point Mi. On obtient à partir de la relation (1) les coordonnées xG, yG et zG du centre de gravité G :

xG =



V

x i .dm m

yG =



V

yi .dm m

zG =



V

zi .dm m

→ Cas où le matériau est homogène : ρ = cteavec m = ρV et dm = ρdV . La relation devient :

V V V Les coordonnées du centre de gravité sont alors indépendantes de la nature du matériau.
→ Cas où le solide est d’épaisseur constante e : V = e.S et dV = e.dS, avec S la surface du solide. La relation devient :

xG =



V

x i .dV

yG =



V

yi .dV

zG =



V

z i .dV

S Dans ce cas, G est appelé centre de...
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