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Théorie des ensembles

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Théorie des ensembles

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Plan du cours Cours de Mathématiques - ASINSA-1

Plan du cours

Théorie des ensembles
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Ensemble et sous-ensemble

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Ensemble et sous-ensemble

Frédéric STURM
Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon 2

Opérations sur les ensembles

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Opérations sur les ensembles

Année académique 2010-2011
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Produit cartésien3

Produit cartésien

F. STURM, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon

Cours de Mathématiques - Première Année ASINSA

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Cours de Mathématiques - Première Année ASINSA

Théorie des ensembles

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Théorie des ensembles
Un ensemble peut se définir de deux manières : soit en extension : on dresse la liste de tous les éléments. Par exemple, ♠,♥, ♣, ♦ . L’ordre, ainsi qu’une éventuelle répétition des éléments sont sans influence. Par exemple, {a, b, c, d} = {b, c, a, d} = {a, b, a, c, d, d}. soit en compréhension : on énonce la propriété caractéristique des éléments de l’ensemble. Par exemple, {x ∈ R | x 3 − 3x + 1 = 0}. Définition 1.1 Un ensemble E est dit fini lorsque le nombre d’éléments qui le composent est un entier naturel. Dans cecas, le nombre d’éléments est appelé le cardinal de l’ensemble et on le note card (E). Un ensemble qui n’est pas fini est dit infini.
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Théorie des ensembles
Exemple 1.1 Soit A l’ensemble défini en extension par A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Il peut aussi être défini en compréhension comme suit : A= {x ∈ N | 0 x 9}.

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Généralités sur les ensembles

On peut définir de manière intuitive un ensemble comme la réunion dans une même entité de certains objets bien déterminés. On appelle ces objets les éléments de l’ensemble. Pour signifier que x est un élément d’un ensemble E on écrit : x ∈ E et on lit « x appartient à E ». Si x n’est pas un élément d’un ensemble E on écrit x ∈ E / et on ditque « x n’appartient pas à E ». Soient x et y deux éléments de E. On notera x = y si ces éléments sont égaux. On notera x = y s’ils sont différents.

Il est fini (card (A) = 10) et peut être représenté par le diagramme de Venn suivant :
1 7 8 2 3 5
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0 4 6

A
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L’ensemble vide est un ensemble qui ne contient aucun élément et on le note ∅. Par convention, card (∅) = 0. On appelle singleton un ensemble qui ne contient qu’un seul élément. Son cardinal vaut 1. Quelques exemples d’ensembles numériques : N : ensemble des entiers naturels (N = {0, 1, 2, 3, · · · }), Z :ensemble des entiers relatifs (Z = {· · · , −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · }),
p Q : ensemble des nombres rationnels (de la forme q avec √ p ∈ Z et q ∈ N∗ , 2 ∈ Q), / √ R : ensemble des nombres réels ( 2 ∈ R, π ∈ R),

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Théorie des ensembles

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Théorie des ensembles
Remarque

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Inclusion - Sous-ensemble
Définition 1.2 Soient A et B deux ensembles. On dit que A est inclus dans B (ou « Aest contenu dans B » ou « B contient A ») et on note A ⊂ B si tout élément de A est un élément de B. L’ensemble A est alors qualifié de partie ou de sous-ensemble de B. L’ensemble A n’est pas inclus dans B (ce qui s’écrit A ⊂ B) s’il existe au moins un élément de A qui n’est pas un élément de B. Exemple 1.2 N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. On a : Q ⊂ Z car On a : N ⊂ R∗ car 0 ∈ N et 0 ∈ R∗ . /
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L’ensemble∅ est inclus dans tout ensemble. Un ensemble est inclus dans lui-même (on dit que l’inclusion est réflexive). Par exemple, N ⊂ N. Soient A et B deux ensembles finis. Si A ⊂ B alors card (A) card (B) .

Soient A, B et C trois sous-ensembles de E. Si A ⊂ B et B ⊂ C alors A ⊂ C (on dit que l’inclusion est transitive). Supposons de plus l’ensemble C fini. Alors card (A) card (B) card (C) .

C :...
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