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LE THEOREME DE THALES
I)

Les configurations de Thales

Le théorème de Thales s’applique dans une configuration particulière : 2 droites sécantes coupées par 2 parallèles, qui peuvent être soit du même côté du point d’intersection (cas 1), soit de part et d’autre (cas 2) de ce point. Cas 1 Cas 2

II)

L’énoncé du théorème de Thalès
Cas 1 Cas 2 (NC) et (MB) sont sécantes en A. Les points B, A, M et C, A, N sont alignés dans le même ordre, et (MN) // (BC)

Dans le triangle ABC, M e [AB], N e [AC], et (MN) // (BC).

Donc d’après le théorème de Thalès, on a : AM = AN = MN AB AC BC

Le théorème de Thalès sert donc à calculer des LONGUEURS, en utilisant le produit en croix.
Ex : AM = 3 cm, MB = 5 et AN = 2 . AM = AN d’où AC=AB x AN = (AM + MB) x AN = (3 + 5) x 2 = 8 x 2 = 16 cm ~ 5,3cm AB AC AM AM 3 3 3

III)

La réciproque du Théorème de Thalès

Pour appliquer la réciproque du théorème de Thalès, il nous faut aussi être dans la configuration de Thalès. La différence avec le théorème est que l’on ne sait pas si les droites sont parallèles, car c’est ce que l’on cherche à montrer.

Cas 1

Cas 2

Dans le triangle ABC, M e [AB] et N e [AC]. 2 = 2=1 De plus, on a : AM = AB 6+2 8 4 Et AN = 3 = 3 = 1 AC 3 + 9 12 4

D’où AM = AN AB AC Donc par la réciproque du théorème de Thalès, (MN) // (BC)

IV)

La propriété de la droite des milieux

Dans le triangle ABC, on a A’ milieu de [BC] et B’ milieu de [AC], donc par la propriété des droites des milieux, (A’B’) // (AB) et A’B’ = 1 AB 2 V)

Partage d’un segment en parties égales

Ex : Placer le point C sur le segment [AB] tel que AC = 3 AB 5

On trace une demi-droite [AD), que l’on partage en 5 parties égales grâce à son compas. Puis on trace la droite (BD), et sa parallèle passant par le point E, situé au 3 5 de [AD]. Le point d’intersection entre cette droite et [AB] nous donne le point C.