DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES
TS – Durée 3 h

Exercice 1 : (5 points) Pour tous les candidats :

Donner la bonne réponse aux questions suivantes en justifiant votre choix. Chaque réponse exacte rapporte 1,25 point si les justifications sont correctes, 0,25 sinon. Chaque réponse fausse enlève 0,25 point. L’absence de réponse à une question rapporte zéro point. Si par application de ce barème, le total des points est négatif, il est ramené à zéro.

1. Soit f une fonction définie sur l’intervalle[pic] et vérifiant [pic] et h la fonction définie sur IR par [pic]. a) Il existe une fonction g définie sur IR telle que [pic] et [pic]. b) Il existe une fonction g définie sur IR telle que [pic] et [pic]. c) Il existe une fonction g définie sur IR telle que [pic] et [pic]. d) Il existe une fonction g définie sur IR telle que [pic] et [pic]. 2. Soit v la suite définie par : [pic]. a) La suite v est croissante et convergente. b) La suite v est décroissante et convergente. c) La suite v est monotone et divergente. d) La suite v est non monotone et convergente.

3. Soit f la fonction définie sur IR par [pic] et k un entier relatif. a) La fonction f est continue et dérivable en k. b) La fonction f est continue et non dérivable en k. c) La fonction f est non continue et dérivable en k. d) La fonction f est non continue et non dérivable en k. 4. Soit f la fonction définie sur[pic]par [pic]. a) La fonction f n’est pas continue en -1. b) [pic]. c) La droite d’équation [pic]est une asymptote à la courbe de f en [pic]. d) [pic].

Exercice 2 : (5 points) Pour tous les candidats :

Question de cours (2 points) 1. Enoncer le théorème des valeurs intermédiaires. 2. Quelle hypothèse faut-il ajouter pour que l'équation f(x) = k ait une solution unique dans un intervalle [a ; b] ? (k étant un réel compris entre f(a) et f(b)). Démontrer cette unicité.