PRIMITIVES D'UNE FONCTION CONTINUE SUR UN INTERVALLE

I) Définition et conséquences Définition Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de ƒ toute fonction F dérivable sur I telle que F' = ƒ sur I. Exemple : On considère la fonction ƒ définie sur ƒ sur

. Solution : F(x) = x 3 − x 2 + sin x. En effet, F'(x) = 3 x 2 − 2x + cos x = ƒ(x). Remarquons que si l'on

avait choisi pour F la fonction définie par F(x) = x 3 − x 2 + sin x + 24, nous aurions encore eu une candidate satisfaisante. Donc si une fonction ƒ admet une primitive, alors elle en admet une infinité. Remarque : la définition reste valable si I est une partie (non vide) de Théorème 1 Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. Nous admettrons pour le moment ce résultat qui affirme l'existence de primitives mais ne précise rien sur leur détermination. Théorème 2 Soient F et G deux primitives d'une fonction ƒ sur un intervalle I. Alors F et G diffèrent d'une constante : F(x) = G(x) + c (c ∈ Démonstration : Puisque F et G sont des primitives de ƒ sur I, on a : F' = G' = ƒ sur I. Par conséquent : F'− G' = 0 sur I. Or, F'− G' = (F − G)' (c'est la linéarité de la dérivation). Donc (F − G)' = 0 sur I. Or, les seules fonctions qui ont une dérivée nulle sont les fonctions constantes ; donc on a, sur I, : F − G = c où c est une constante. Graphiquement, dans un repère orthonormal (O, i , j ) les représentations graphiques CF et y ) pour tout x ∈ I.

CG se correspondent par une translation de
→

vecteur c j

:
→ j

c

O

→ i

a

Primitives

page 1

par ƒ(x) = 3 x 2 − 2x + cos x. Trouver (mentalement) une primitive F de

.

¡ ¢¡

CF CG

b

x

G. COSTANTINI

II) Primitive définie par une condition initiale

Théorème 3 Soit ƒ une fonction continue sur un intervalle I. Soient x0 ∈ I et y0 ∈

Il existe une unique primitive F de ƒ sur I satisfaisant la condition initiale F(x0) = y0. Démonstration