CHAPITRE 4 LA TRANSFORMÉE DE F OURIER

4.1 Fonctions localement intégrables
Soit I un intervalle de R et soit f : R −→ R une application. Définition 4.1.1 On dit que f est localement intégrable sur I si f est intégrable sur tout intervalle fermé borné contenu dans I. C’est à dire, f est localement intégrable sur I, si quelque soit [a, b] ⊂ I, alors b a

f (x)dx existe.

Remarque 4.1.1 Il est clair que toutes les fonctions continues sont localement intégrables. On note par Loc(I, R) = { f : I −→ R : f localement intégrable}. On a alors C(I, R) ⊂ Loc(I, R) et l’inclusion est stricte. Comme exemple la fonction f (x) = [x], (partie entière de x) est localement intégrable mais non continue. Proposition 4.1.1 L’ensemble Loc(I, R) est un sous-espace vectoriel de F (I, R), (espace de toutes les fonctions définies de I dans R).

4.2 L’intégrale de F ourier
Pour conclure l’étude de la théorie des séries de F ourier, on examinera le cas limite où l’intervalle ] − ℓ, ℓ[, dans lequel on étudie la série de F ourier , tend vers ] − ∞, ∞[, c’est à dire lorsque ℓ −−→ ∞. − On suppose que f satisfait aux conditions de Dirichlet et admet un développement en série de F ourier dans l’intervalle [−ℓ, ℓ], ℓ > 0. Donc il existe une fonction g : R → R périodique, 2π de période T = 2ℓ = , vérifiant les hypothèses de Dirichlet (donc développable en série ω de F ourier) telle que la restriction g|[−ℓ,ℓ] = f . 61 Soit f : R → R une fonction localement intégrable sur R et telle que I =
∞ −∞

| f (t)|dt converge.

LA TRANSFORMÉE DE F OURIER Alors pour tout x ∈ [−ℓ, ℓ] on a : ∞ ∞ a0 nπ nπ a0 (a) f (x) = + an cos(nωx)+bn sin(nωx) = + an cos x + bn sin x 2 n=1 2 n=1 ℓ ℓ (b) (c) ω π ω bn = π an = 1 ℓ −π/ω π/ω 1 f (x) sin(nωx)dx = ℓ −π/ω f (x) cos(nωx)dx = π/ω En remplaçant les quantités (b) et (c) dans (a), on a :  ∞  ℓ ℓ  1 1 nπ nπ nπ nπ    f (x) = f (x)dx +  f (t) cos t cos x + sin t sin x dt =    2ℓ −ℓ ℓ n=1 −ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ 1 2ℓ
ℓ −ℓ

nπ x dx ℓ −ℓ ℓ nπ f (x) sin x dx ℓ