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8972 mots 36 pages
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Calcul di¤érentiel

Résumés des Cours

Pr. S. AMRAOUI & Pr.T.BENKIRAN

1

Résumé du Chapitre I
Applications di¤érentiables
Di¤érentielle d’une application
Dans de nombreux cas, une application est au voisinage de chaque point “proche”d’une application a¢ ne. Le calcul di¤érentiel précise cette notion de proximité, et étudie les propriétés qui se transmettent de ces fonctions a¢ nes à la fonction elle-même.
Dans toute la suite, U est un ouvert non vide d’un espace vectoriel normé E sur R et f une application de U dans un espace vectoriel normé F sur R.
Dé…nitions, Propriétés

8
< il existe une application linéaire continue dfa 2 Lc (E; F ); kf (a + h) f (a)
L ( h)kF ff est di¤érentiable en un point a 2 U , lim =0
:
khk!0 khkE dfa est dite di¤érentielle de f en a ou application linéaire tangente (à f en a)
Si f est di¤érentiable en tout point a 2 U;on dé…nit une application df : a 2 U ! dfa 2 Lc (E; F ):
Si df est continue, on dit que f est de classe C 1 (U):
Si f est di¤érentiable en a 2 U; f est continue en a:
L’application f ! df est linéaire et suit la règle de composition : d (gof ) (a) = dg (f (a)) odfa
Dérivée directionnelle
Si f est di¤érentiable en a; alors f possède des dérivées suivant tout vecteur et dh f (a) = dfa (h);c’est à dire: ff est di¤érentiable en a )

f (a + th) t!0 t

8h 2 E; dh f (a) = lim f (a + t) t!0 t

f (a)

Si E = R, on a d1 f (a) = f 0 (a) = lim

f (a)

= dfa (h)

= dfa (1):

Di¤érentielles partielles
On se donne E = E 1 ::: En où E1 ; :::; En sont des espaces vectoriels normés , F un n espace vectoriel normé , f : U ! F où U =
Uk , Uk est un ouvert de Ek et a = (a1 ; :::::; an ) k=1 2 U.

ff admet une dérivée partielle par rapport à la k-ième variable en a , fla k-ième application partielle
On appelle alors dérivée partielle de f par rapport a la k-ième variable en a et on note @k f (a) la dérivée de cette application partielle en xk : @k f (a) = d (gk )a :
2

ff est di¤érentiable en a )

(

8i = 1; :::; n, f admet une dérivée

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