3i

1 On d´coupe la somme en trois parties selon la congruence modulo 3 de l’indice puis on s’arrange e 1 pour retrouver tous les k : 3p p p−1 p−1 ak = k=1 i=1 a3i + p = − i=1 p 2 + 3i a3i+1 i=0 p−1 i=0 3p + i=0 a3i+2 p−1 1 + 3i + 1 1 k i=0 1 3i + 2 = −3 i=1 3p 1 + 3i k=1 = k=p+1 1 k 1 On change alors d’indice (h = k − p) et on factorise : 3p 2p ak = k=1 h=1 1 1 = p+h p 1 1+ h=1 2p h p 1 2.2 On fait apparaˆ ıtre une somme

) ( PVA j ) VA j (1  tmti )(1  tmci ) CI j Leontief XS j (1  t dTUi ) eTU PWM TU i (1  t dAUi ) e AU PWM AUi ( PM AUi ) M AUi (1  tmti )(1  tmci ) (1  t dUSi ) eUS PWM USi M TU i CES ( PXS j ) (1  tmti )(1  tmci ) ( PM RM 3i ) M RM 3i D j1 D j 2  D j n ( PXS j ) D1i D2i  D Ji (1  t dPAi ) ePA PWM PAi M USi CES ( PX i ) X i (1  tmti )(1  tmci ) ( PM RM 2i ) M RM 2i (1  t mti )(1  t mci ) M PAi (1  t dUEi ) eUE PWM UEi CES m Xi (P ) X i (1  tmti )(1  tmci

+ (13 + 4i)z − 13i = (z − i) az 2 + bz + c . 3. En déduire les solutions de l’équation (E). Partie B → → − − Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct O, u , v , on désigne par A, B et C les points d’affixes respectives i, 2 + 3i et 2 − 3i. 5 points Baccalauréat S 1. Soit r la rotation de centre B et d’angle image du point A par la rotation r . π . Déterminer l’affixe du point A′ , 4 2. Démontrer que les points A′ , B et C sont alignés et déterminer l’écriture complexe

z   i) 2 : z 0z0. ii) z  z . iii) zz  z z z z .  z z iv) Si z est non nul : v) Pour tout entier naturel n non nul : z  z n vi) z  z  z  z Exemple 2. : (inégalité triangulaire) Calculer le module de : 1. z  4598 2. z  3i  3. z  1  i  3 2  i 7  4. z  1  i 3 5. z  n   3 1 i 3 1 i Chap2 – Cours – Nombres complexes et trigonométrie Page 3 Propriété : Si A et B sont deux points de P d’affixe respective a et b, alors le module b  a correspond à

- % 3 ! ! 1 % 7 ! % & . ! * 1 % *W % % !! % * S % % . 1 ! % / * 3+ 1 . ! +1 . * / % % 8 A * ! ! ! ( % / * % % % .) - 3 % ! * . / ! ! / % ! % . * ! % ! / / ! ! ! * % ! > B> H43 @ 4 7C3 74@ =>> 3I@ =3I@ > 73H@ ^K B ] ^K = ] ^K 7 ] HH3 4?H@ H=3 ?44@ H43 H7@ II3H@ ??3 HB@ HH3 H?7?@ HH3 I4H@ HH3 ?7I@ HH3 =47@ HH3?B@ > HH3 HHH77@ HH3 HH?7@ HH3 HH77@ HH3 @ HH4 HH3 HI7B@ + 1+ ! ! !% / 0 ! % * 0 / * 3 1 + ! % !!

l'angle (u;AB ) a pour mesure arg(zB - zA) [2π] !!! !!! " " ⎛ z − zC ⎞ • l'angle AB ;CD a pour mesure arg(zD - zC) - arg(zB - zA) = arg ⎜ D ⎟ ( ) ⎝ zB − z A ⎠ Exercice 5 : On considère les points A, B et C d’affixes respectives -1+2i ; 4-3i et 3i. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A. Exercice 6 : On considère les points A, B et C d’affixes respectives i ; 2+i et 1!+!i!( 3 + 1) . Démontrer que le triangle ABC est équilatéral. • Comment démontrer que trois points A, B et C sont

est à rendre avec la copie. Si le total des points est négatif, la note de cet exercice est ramenée à 0. Le plan est muni d'un repère orthonormé direct ( O, OI , OJ ) . A, B et C sont les points d'affixes respectives : 1 1 7 + 3i , zB = + i et zC = −1 + 2 2 5 − 2i zA = 3i θ est un nombre réel quelconque. 1. La forme algébrique de zA est : 7 3 P1 − i 5 2 P2   29 29 + i 21 21   1+i P3   P4 10 3   2. La forme exponentielle de zC est : P1 2 iπ 2e 3   P2 −e   i 3 P3 −2 e   − iπ 3 3

à ( 3)2 + 12 = 2, donc J appartient au cercle de diamètre [AB]. Même calcul pour K. 2 − 2i i(−2 + 3i = = −1. Donc C′ apparb. Si c ′ est l’affixe de C′ , alors c ′ = −2 + i + i −2 + 2i tient à l’axe des abscisses. iz + 3 i(z − 3i) 2. On peut écrire z ′ = = . En prenant les arguments de ces deux z +i z − (−i) complexes (et en utilisant le résultat de la partie A) on obtient arg(z ′ ) = argi + π z − 3i −→ −→ − − à 2π près ⇐⇒ arg(z ′ ) = + AM , BM à 2π près ⇐⇒ arg z − (−i) 2 π −→ −→ − − arg(z ′ ) = MA

symétriglissée. E XERCICE 1 Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité 1. zA = 1 + 2i ; zA = 5 points (3 + 4i)(1 + 2i) + 5(1 − 2i) 3 − 8 + 5 + 6i + 4i − 10i = =0; 6 6 3 + 4i + 5 4 + 2i = ; zB = 1 ; zB = 6 3 3i(3 + 4i) + 5 × (−3i) 9i − 12 − 15i = = −2 − i. zC = 3i ; zC = 6 6 Nouvelle–Calédonie 2 Corrigé du baccalauréat S novembre 2005 × N1 A × × N1 → − v O C × × × × − A→ B u B × N2 = N2 2. On a z = x +iy = 4x + 3y − 5y (3 + 4i)(x + iy) + 5(x

Remarques 1.2: i. µS est l’image de µT par l’application πS , veut dire ∀A ∈ B S on a: not déf −1 µS (A) = µT πS (A) = µT (πS ∈ A) . 2i. µT est unique. C’est une probabilité sur E T , B T si toutes les µS sont des probabilités sur E S , B S . 3i. Dans le cas fini, la mesure n’est autre que la mesure produit habituelle. Chapitre 1 Processus stochastique et fonctions aléatoires Définition 1.5 La mesure µT (quand elle existe), telle que ∀S ∈ ST on ait µS est l’image de µT par l’application