Argument de la diagonale de Cantor

(yϕ(n) )n∈N admet une sous-suite e convergente (yϕ(ψ(n)) )n∈N . Il est clair que la suite (xϕ◦ψ(n) , yϕ◦ψ(n) )n∈N est convergente. La r´ciproque du th´or`me de Bolzano-Weierstrass permet alors de conclure. e e e Remarque. En utilisant le proc´d´ diagonal de Cantor, on peut ´tablir que le produit d’une e e e famille d´nombrable d’espaces m´triques compacts est un espace m´trique compact. Cela reste e e e vrai pour une famille quelconque si l’on fait appel ` l’axiome du choix. a 2.5 Compl´tude e

un espace de Banach dans lequel la norme provient √ d’un produit scalaire sur R ou hermitien sur C, soit : x = < x, x >. Un produit hermitien est une forme sesquilin´ eaire < , >: E × E → C (antilin´eaire dans le premier, lin´eaire dans le second argument) qui est positive et non-d´ eg´ en´ er´ ee (i.e. < x, x > 0 et < x, x >= 0 ⇔ x = 0). Exemples : 1) (Rn , ) = (Rn , < , >) avec < x, y >= ni=1 xi yi est un espace de Hilbert (alias espace euclidien). 2) (Cn , < , >) avec < x, y >= ni=1 xi yi est un

(K) : αX + (trX)A = B. Correction [003372] Exercice 3373 Commutant d’une matrice diagonale Soit A ∈ Mn (K) et CA = {M ∈ Mn (K) tq AM = MA} (commutant de A). 1. Montrer que CA est une sous-algèbre de Mn (K). 2. Soit A = diag(λ1 , λ2 , . . . , λn ) une matrice diagonale dont tous les λi sont distincts. (a) Chercher CA . (b) Soit φ : Mn (K) → Mn (K), M → MA − AM Montrer que Im φ est l’ensemble des matrices à diagonale nulle. [003373] Exercice 3374 Matrices de trace nulle Soit M ∈ Mn (K) non scalaire

d’inconnue X ∈ Mn (K) : αX + (trX)A = B. Correction Exercice 3373 Commutant d’une matrice diagonale Soit A ∈ Mn (K) et CA = {M ∈ Mn (K) tq AM = MA} (commutant de A). 1. Montrer que CA est une sous-algèbre de Mn (K). 2. Soit A = diag(λ1 , λ2 , . . . , λn ) une matrice diagonale dont tous les λi sont distincts. (a) Chercher CA . (b) Soit φ : Mn (K) → Mn (K), M → MA − AM Montrer que Im φ est l’ensemble des matrices à diagonale nulle. [003371] [003372] [003373] Exercice 3374 Matrices de trace nulle

Par exemple, la « Querelle des irationnels » a aboutit sur l’invention de concepts nouveaux : pour Pythagore, il y avait les nombres entiers et les opérations que l’on p pouvait faire avec ces nombres. Un carré de côté 1 a une diagonale égale à 2. Pourtant une diagonale est finie et réelle. Théétète a inventé les nombres rationnels : il rassemble les nombres par des puissances. Les nombres seraient des nombres complexes. A partir de l’ensemble des réels, tous les nombres vont se représenter dans

de oro / forrarse argent (jeter l’argent par les fenêtres) echar la casa por la ventana argent (se faire un peu d’argent) sacar algún dinerillo argent sale dinero sucio argent sur soi (avoir de l') llevar dinero encima argument (brandir des arguments) esgrimir argumentos argument massue argumento contundente argumentaire de ventes argumentario de ventas arme à double tranchant arma de dos filos / de doble filo Michel Bénaben 17 Michel Bénaben armes (rendre les armes) entregar (rendir) las armas

des mathématiques... © rue des écoles & Le Monde, 2014. Reproduction, diffusion et communication strictement interdites. sur ses fonds personnels. Quels sont les arguments  ? Vitesse et précision. Mais est-on vraiment à quelques minutes près  ? A-t-on besoin souvent de dix chiffres significatifs ? Alors, on fait appel à d’autres arguments de vente qui sont de nature plus sentimentale. Il est symptomatique de lire, textuellement, dans une notice de présentation et sous la plume du constructeur, qu’il

REELS ET COMPLEXES 6 C a b c A B Si on note a la longueur du segment BC, b celle de CA et c celle de AB, alors le th´eor`eme de Pythagore dit qu’on a la relation a2 = b 2 + c 2 . √ Ainsi on obtient que la longueur de la diagonale d’un carr´e de cˆot´e b = c = 1 est ´egale `a a = 2. Proposition 1.1.1 Le nombre √ 2 n’est pas un nombre rationnel. D´emonstration. √ Nous allons faire une d´emonstration par l’absurde. 1 √ Supposons que 2 est rationnel. Il existe alors

LES NOMBRES REELS ET COMPLEXES b a A c B Si on note a la longueur du segment BC, b celle de CA et c celle de AB, alors le th´or`me de e e Pythagore dit qu’on a la relation a2 = b 2 + c 2 . √ Ainsi on obtient que la longueur de la diagonale d’un carr´ de cˆt´ b = c = 1 est ´gale ` a = 2. e oe e a Proposition 1.1.1 Le nombre √ 2 n’est pas un nombre rationnel. D´monstration. √ e Nous allons faire une d´monstration par l’absurde. 1 e √ Supposons que 2 est rationnel. Il existe alors

math´maticiens durent aussi r´soudre le probl`me de l’infini : qu’est-ce qu’un e e e e e ensemble « infini » ? La possibilit´ d’appr´hender math´matiquement l’infini fut d’ailleurs le sujet e e e d’une controverse th´ologique — seul Dieu est infini. Pire, Cantor(7) d´couvrit qu’il existait e e Leopold Kronecker, math´maticien et logicien allemand (1823-1871). e La citation originale, « Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. » a ´t´ ee prononc´e en 1886 lors d’une conf´rence