Automorphisme

toujours : f (x + y) = f (x) + f (y) ; f (x y) = f (x) f (y) ; f (λx) = λ f (x) . et si f (1 E ) = 1 F . 142 Autres structures algébriques Un morphisme f de E dans F est un isomorphisme si f est bijectif, un endomorphisme si E = F, un automorphisme si E = F et f bijectif. 44 © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. 143 Algèbre générale 45 1re année Arithmétique dans Z 1. 1.1 Divisibilité dans Z Division euclidienne a = bq + r avec 0 r < b. Pour tout

(C))2 , ϕ(MN) = ϕ(M)ϕ(N). 16. Soit M ∈ M3 (C). ψ ◦ ϕ(M) = V(V −1 MV)V −1 = (VV −1 )M(VV −1 ) = M. Par suite, ψ ◦ ϕ = IdM3 (C) . Ainsi, l’endomorphisme ϕ est inversible à gauche d’inverse à gauche ψ. Puisque dim(M3 (C)) < +∞, on sait que ϕ est un automorphisme de M3 (C) et que ϕ−1 = ψ. ϕ ∈ GL(M3 (C)) et ϕ−1 = ψ. 17.         1 q p 0 p+q 1 1 1  1  0 q p  1  = p + q  =  1 , A(p,q)  1  = p+q p+q 1 p 0 q p+q 1 1   18. Soit f l’endomorphisme de C3 dont la matrice dans la base canonique

Titre de l’article. Titre de la revue (fac.) [en ligne]. Numéro (fac.) Année. Pages. Disponible sur : (date de consultation.). Identifiant (fac.) Nom de la revue ou elle doit paraître (fac.) Exemple : o THOMAS, Pascal. A local form for the automorphisms of the spectral unit ball. Pré-publication de l’Institut de mathématiques de Toulouse [en ligne]. 2008, 4 p. Disponible sur : (consulté le 7 avril 2001) Math.CV./0801.3396 3 Ouvrage, chapitre d'un ouvrage Ouvrage imprimé NOM,, Prénom

dans F . On dit que l’application f est un : • morphisme si elle est linéaire, • isomorphisme si elle est linéaire et bijective, • endomorphisme si elle est linéaire et E = F , 14 Maths en Ligne Espaces vectoriels UJF Grenoble • automorphisme si elle est linéaire, bijective et E = F . Voici • • • • • • • • • • quelques exemples d’applications linéaires. de C dans R2 : z −→ (Re(z), Im(z)) de C dans C : z −→ z de R2 dans R2 : (x, y) −→ (x + y, 2x + 3y) de Mn,n (R) dans

applications linéaires injectives (resp. surjectives) sont parfois appelées monomorphismes. (resp.épimorphismes.) Les applications linéaires bijectives sont appelées isomorphismes (d'espaces vectoriels). Enn, les endomorphismes bijectifs sont appelés automorphismes. Mémoire de DIPES II . NTSAFACK DONGMO Frank Wilson c ENS 2010 Quelques dénitions et résultats 7 Exemple 1.1.27. ˜ 1. Toute matrice A de genre (m, n) sur un corps K dénit une application linéaire A : ˜ Kn −→ Km par A(x) = A.x.

augmentés Soit xi une famille finie d’entiers distincts. X − xi − 1 est irréductible sur Montrer que le polynôme Indication. Commencer par montrer qu’il l’est sur P = Q R et trouver des zéros de Q + R. Automorphismes de [X ]. [X ] ; supposer pour cela [X ] Déterminer tous les automorphismes de l’algèbre conque. [X ], étant un corps quel- Polynômes de Hilbert Soit ∆ l’endomorphisme de [X ] defini par ∆ : P (X ) → P (X + 1) − P (X ). Quel est son noyau ? Son image ? Soit Hk (X ) le polynôme

d’affixe −i, et M le point d’affixe z. Alors |z − i| est la longueur AM , |z + i| est la longueur BM , et la condition recherchée est AM = BM , c’est-à-dire M est sur la médiatrice de [AB], soit encore M sur l’axe réel, soit z réel. Exercice 6 - Automorphisme du disque - L1/Math Sup 1. Il suffit de développer les modules au carré. Précisément, on a : 1− z−a 1 − az ¯ 2 = = = = |1 − az|2 − |z − a|2 ¯ |1 − az|2 ¯ 1 − az − a¯ − |a|2 |z|2 − |z|2 − |a|2 + az + a¯ ¯ z ¯ z 2 |1 − az| ¯ 2 |z|2 − |z|2 −

0 0 1 4  . b) Les colonnes de MatB(f) forment une famille libre donc rg(MatB(f)) = 3. Par conséquent, la matrice MatB(f) est inversible. On en déduit que f est bijective. Ainsi f se retrouve être un endomorphisme bijectif de R2[X], ie un automorphisme de R2[X]. 3. a) Le noyau de φ est un sous-espace vectoriel de R2[X] en tant que noyau d’une application linéaire. De plus, comme R2[X] est de dimension finie, ker(φ) est un sous-espace vectoriel de dimension finie de R2[X]. 1Lycée Blaise Pascal

Si F = E, on dit que f : E → E est un endomorphisme de E. • Si f : E → E est bijective, on dit que f est un automorphisme de E. • Si F = R, on dit que f : E → R est une forme linéaire. Pour prouver que f : E → F est linéaire, on utilise la définition. Pour prouver que f linéaire est : un isomorphisme, il suffit de prouver qu’elle est bijective ; un endomorphisme : f (E) ⊂ E ; un automorphisme : f (E) ⊂ E et f bijective. Premières propriétés. Pour f : E → F linéaire : • f (0E ) = 0F ; • ∀u ∈ E, f (−u)

propres de g. 3. Combien existe-t-il d'endomorphismes f tels que g = f2 ? Exercice 12. [ccinp] ('21) Soit E un espace vectoriel de dimension �nie et f, g ∈ L (E) telles que f2 = g2 = IdE et f ◦ g + g ◦ f = 0. 1. Montrer que : a) f et g sont des automorphismes. b) f et g sont diagonalisables. c) Sp(f) = Sp(g) = {−1, 1}. 2. Montrer que g induit un isomorphisme de ker(f − IdE) dans ker(f + IdE). 3. Montrer que dimE est paire. On notera dimE = 2n. 4. Montrer qu'il existe une base B dans laquelle les matrices