Automorphisme

proportionnelles a (F − 2I) ee ` 4) a) ∀M ∈ F , u(M ) · F = F · M · F = F · F · M = F · U (M ) , donc u(M ) ∈ F Donc F est stable par u b) si u est un automorphisme de M , alors il existe M ∈ M telle que u(M ) = F · M = I , donc F est inversible Si F est inversible , u(M ) = N ´quivaut a M = F −1N , donc u est bijective e ` Donc ( u est un automorphisme de M ) si et seulement si ( F est inversible ) c) Soit la matrice de u  U dans la base (E1, E2, E3, E4) a −b 0 0  b c 0 0  F 0 = U =  0 0 a −b

B. • Montrons que B est injectif, i.e. que Ker B = 0Kn . Soit X ∈ Kn tel que BX = 0. Alors X = In X = (AB)X = A(BX) = A0 = 0, comme voulu. • Or B est un endomorphisme de Kn . Donc son injectivité implique sa bijectivité ; bref, B est un automorphisme de Kn . • Or enfin, si Bn est la base canonique de Kn , nous savons que B = Mat(B). Cela montre, via le théorème Bn précédent, que B, comme matrice, est inversible. Alors A = AIn = A(BB −1 ) = (AB)B −1 = In B −1 = B −1 , ce qui prouve l’inversibilité

réciproque de l’application f : (a, b) ∈ R2 → a + ib ∈ C. Automorphisme Définition 2.41. On appelle automorphisme de E, toute application linéaire bijective de E. On note Gl(E) l’ensemble d’automorphisme de E. Proposition 2.42. Si f : E → F et g : F → G sont des automorphismes alors la composée g ◦ f : f → G est un automorphisme. Proposition 2.43. Si f : E → F est un automorphisme alors son application réciproque f −1 : F → E est un automorphisme. 2.5.3 Noyau et image d’une application linéaire Théorème

Isomorphismes Définition (Isomorphisme) Soient E et F deux K-espaces vectoriels. • On appelle isomorphisme de E sur F toute application linéaire bijective de E sur F . • Un isomorphisme de E sur E est aussi appelé un automorphisme de E. L’ensemble des automorphismes de E est noté GL(E) et appelé le groupe linéaire de E. Il s’agit là du groupe des inversibles de l’anneau L (E), +, ◦ : U L (E) = GL(E). • On dit que E est isomorphe à F s’il existe un isomorphisme linéaire de E sur F .

réciproque de l’application f : (a, b) ∈ R2 → a + ib ∈ C. Automorphisme Définition 2.41. On appelle automorphisme de E, toute application linéaire bijective de E. On note Gl(E) l’ensemble d’automorphisme de E. Proposition 2.42. Si f : E → F et g : F → G sont des automorphismes alors la composée g ◦ f : f → G est un automorphisme. Proposition 2.43. Si f : E → F est un automorphisme alors son application réciproque f −1 : F → E est un automorphisme. 2.5.3 Noyau et image d’une application linéaire

Vect(I). 2) Soit f l’application qui, à toute matrice M de Mn(IR) associe f (M) = M + tr(M) I, a) Montrer que f est un endomorphisme de Mn(IR). b) Utiliser la première question pour déterminer les valeurs propres de f. En déduire que f est un automorphisme diagonalisable de Mn(IR). 3) Soit g l’application qui, à toute matrice M de Mn(IR) associe g (M) = M + tr(M) J, où J désigne une matrice non nulle de Mn(IR) dont la trace est nulle. On admet que g est un endomorphisme de Mn(IR). a) Établir que

On dit qu’il est orthogonalement diagonalisable. 23.3 Automorphismes orthogonales et matrices orthogonales. D´finition 98 e On appelle automorphisme orthogonal de E, toute application lin´aire u : E → E qui conserve le produit e scalaire. c`d: < u(x), u(y) >=< x, y >, ∀(x, y) ∈ E2 . a Th´or`me 114 e e Soit une application lin´aire u : E → E, les propri´t´s suivantes sont ´quivalentes: e ee e 1. u automorphisme orthogonal 2. u automorphisme avec u∗ = u−1 . 3. u conserve le produit scalaire. 4. u

associe f (P) = P’’ – 5P’ + 6P, où P’ et P’’ désignent respectivement les dérivées première et seconde de P. 1) Montrer que f est un endomorphisme de E. 2) Écrire la matrice A de f relativement à la base (e0, e1, e2). 3) a) Établir que f est un automorphisme de E. En déduire Ker f. b) Écrire la matrice de f –1 relativement à la base (e0, e1, e2). 4) a) Déterminer la seule valeur propre  de f. L’endomorphisme f est-il diagonalisable ? b) Préciser le sous-espace propre associé à la valeur propre .

matriciel. A-t en fonctionde,4. et 3) ialculer e2.eÀdéduire que Aèst inversible exprimer maintenantl'application rpl qui à toute matriceM de E associe: 4) On considère qe(lut):AMA-'. de a) Montrer gve gt est un endomorphisme E. de que çl estun automorphisme E. b) DéterminerKerrpspuis montrer 5) a) Écrire la matrice Qe de gt dansla base(1,J, K,I), puisjustifier gue Qt est diagonalisable' propresassociés. b) Donner les valeurspropresde q1 ainsique les sous-espaces On rappelleque I'application, notée/r

Déterminant d’un endomorphisme 5.5 Déterminant d’une matrice carrée Chapitre 3 – Espaces vectoriels euclidiens et géométrie euclidienne 1 2 3 4 5 6 7 Produit scalaire Orthogonalité Isométries affines du plan et de l’espace Automorphismes orthogonaux du plan vectoriel euclidien Automorphismes orthogonaux de l’espace Déplacements Similitudes directes du plan PARTIE 4 – Algèbre et géométrie 2 Chapitre 1 – Algèbre générale 1 Groupes 1.1 Groupes 1.2 Groupes Anneaux et corps 2.1 Idéaux d’une anneau commutatif