Axiomes de Peano

nombres premiers IV : L'anneau des polynômes [X] 1) Algorithme du calcul du PGCD 2) L'égalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) Les polynômes irréductibles 5) PPCM Annexe I : nombre d'injections, de surjections et de partitions Annexe II : les axiomes de Peano Annexe III : analyse non standard Annexe IV : Le numéro INSEE Annexe V: Utilisation d'un corps fini dans le codage du Minitel Annexe VI : Utilisation d'un corps fini dans les disques compacts Annexe VII : Cryptographie Annexe VIII : La recherche

distinctement à l'esprit qu'on ne peut le mettre en doute. Ce texte nous présente d'ailleurs et ce texte nous présente l'évidence, immédiate et infaillible en tant qu'intuition rationnelle, comme critère de la vérité. Pour illustrer le fait que ces axiomes sont indémontrables on peut citer Blaise PASCAL : « Nous connaissons la vérité non seulement par la raison mais encore par le cœur. C'est de cette dernière sorte que nous connaissons les premiers principes et c'est en vain que le raisonnement, qui

RAISONNER : LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR L’ABSURDE BUT : montrer que R est VRAIE PRINCIPE : 1. on suppose R fausse 2. on exhibe (via notre système d’axiomes) une certaine assertion S 3. on montre que (R fausse+ axiomes) implique [S est VRAIE] 4. on montre que (R fausse+ axiomes) implique [S est FAUSSE] CONCLUSION : R est VRAIE 37 APPRENDRE À RAISONNER : LE PRINCIPE DE CONTRAPOSITION [R ⇒ S ] ⇔ [(non S) ⇒ (non R)] 38 COMPTER, CALCULER, ORDONNER RAISONNER PAR RÉCURRENCE

« pour choisir une chaussette plutôt que l’autre pour chaque paire d’une collection infinie, on a besoin de l’axiome du choix. Mais pour les chaussures, ce n’est pas la peine. » Le choix de la chaussure est régi par ce que l’on pourrait nommer un axiome du choix naturel, tandis que rien ne différencie a priori une chaussette gauche d’une droite : c’est en ce sens que l’axiome du choix est utile. Il permettrait à coup sûr de déterminer la gauche de la droite, il s’agit bien du même problème dans la

métaphysique sont donc possibles, mais illégitimes. Ainsi Kant sépare et oppose radicalement la métaphysique et la mathématique au point de vue de la méthode. Il va jusqu'à soutenir que seule la mathématique peut avoir des axiomes et des démonstrations. Elle seule a des axiomes, c'est-à-dire des principes synthétiques a priori, parce que de tels principes ne peuvent être fondés que sur les intuitions pures de l'espace et du temps. Elle seule a des démonstrations, parce que seule la construction intuitive

arithmétiques et géométriques, sens de variation, cf cours sur le livre page 24 et A p 100 II. Raisonnement par récurrence C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), ci-contre, que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence. Le nom a probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912). 1. Axiome : principe de récurrence Principe du raisonnement par récurrence : Pour prouver qu'une propriété P est vraie pour tout entier naturel n supérieur ou égal

FREGE (Gottlob) 1848-1925 Professeur de mathématiques à l’université d’Iéna, Gottlob Frege est le fondateur de la logique moderne ou logique mathématique, selon l’appellation due à Giuseppe Peano et universellement admise. Longtemps méconnus, ses travaux furent révélés au public savant par Bertrand Russell, qui consacra à l’examen de quelques idées propres à Frege l’appendice B des Principles of Mathematics (1903). L’œuvre ne peut être classée sous aucune des rubriques usuelles, car le génie de

définition de la démonstration. Sinon, comment pourrais-je dire que ces exemples sont corrects? M. I : Bien. Toute l'affaire a été débrouillée par le logicien Tarski, je pense, et quelques autres, peut-être Russell ou Peano. N'importe, ce que vous devez faire, vous écrivez les axiomes de votre théorie dans un langage formel avec une liste donnée de symboles, ou alphabet. Vous écrivez alors les hypothèses de votre théorème avec le même symbolisme. Puis vous montrez que vous pouvez transformer pas à

également un entier naturel. – Toute propriété possédée par 0 et possédée par n + 1 dès que n la possède, est possédée par tous les entiers naturels. (Principe de récurrence.) C’est là, en l’essence, la définition des entiers naturels selon Peano (axiomes de Peano). On appellera « finie » une quantité (positive)1 qui est inférieure à un certain entier naturel, et, a contrario, « infinie » une quantité qui est supérieure à tous les entiers naturels (reste à voir ce que cela veut dire). Notons que « fini

appelées axiomes, supposées vraies à priori (et que l’on ne cherche donc pas à démontrer) ; ⋄ on définit ensuite la notion de démonstration (en décidant par exemple de ce qu’est une implication, une équivalence...) ; ⋄ on décide enfin de qualifier de vraie toute affirmation obtenue en fin de démonstration et on appelle « théorème » une telle affirmation (vraie). A partir des axiomes, on obtient donc des théorèmes qui viennent petit à petit enrichir la théorie mathématique. En raison des bases (les axiomes) non