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L’infini en mathématiques
(une présentation élémentaire)

David A. Madore 22 mars 2001
CVS : $Id: infinity.tex,v 1.9 2001/03/22 20:31:29 david Exp $ http://www.eleves.ens.fr: 8080/home/madore/math/infinity.pdf Avant-propos : Le pari assez ambitieux tenté ici est d’évoquer de façon générale « l’infini en mathématiques » d’une façon suffisamment synthétique pour être accessible auxnon-spécialistes sans pour autant être ennuyeuse pour les experts ; de surcroît, on espère le faire avec assez de rigueur pour que le mathématicien s’estime satisfait, mais éviter néanmoins que le formalisme noie les considérations d’essence philosophique.
Résumé La notion d’infini nous fascine et nous échappe à la fois ; elle est resté longtemps mal comprise : lorsque Georg Cantor, à qui nous devons la visionmoderne du concept d’infini en mathématiques, a présenté ses théories, on l’a d’abord pris pour fou. Cependant, les mathématiques contemporaines ont réussi à maîtriser et à comprendre l’infini : nous tenterons donc de donner un aperçu de leur point de vue, en évoquant au passage les considérations d’ordre philosophique qu’il soulève. Après un survol du « fini » et de l’infini « inachevé »(pré-Cantorien), nous tenterons de présenter les deux sortes d’infini qu’on trouve en théorie des ensembles : les ordinaux et les cardinaux. Tout au long de l’exposé se présentera la question « jusqu’où peut-on aller », et la réponse sera toujours « encore très loin ».

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Introduction : qu’est-ce que le fini ? Jusqu’où va-ton (I) ?

Si l’infini se définit comme ce qui n’est pas fini, il faut pour le comprendrecommencer par ce dernier terme (probablement assez mal choisi au demeurant). On partira des deux considérations suivantes, desquelles on conviendra aisément : – 0 est fini. (Une quantité nulle est finie.) – Si n est fini, alors n + 1 est également fini. (Rajouter une unité à une quantité finie ne peut pas la rendre infinie.) C’est déjà un progrès : ces deux principes permettent déjà de montrer quecertaines choses sont finies (par exemple, 5 est fini puisqu’il est égal à 1 + 1 + 1 + 1 + 1). Mais ils ne permettent pas de montrer que quelque chose est infini : il est compatible 1

avec les deux affirmations ci-dessus que toutes les quantités sont finies. On veut donc rajouter le principe « est fini précisément ce qui s’obtient par les règles en question ». Formellement, écrivons : – 0 est un entiernaturel. – Si n est un entier naturel, alors n + 1 est également un entier naturel. – Toute propriété possédée par 0 et possédée par n + 1 dès que n la possède, est possédée par tous les entiers naturels. (Principe de récurrence.) C’est là, en l’essence, la définition des entiers naturels selon Peano (axiomes de Peano). On appellera « finie » une quantité (positive)1 qui est inférieure à un certainentier naturel, et, a contrario, « infinie » une quantité qui est supérieure à tous les entiers naturels (reste à voir ce que cela veut dire). Notons que « fini » ne signifie pas pour autant « petit », comme on va le voir dans un instant. En procédant par récurrence, on voit que si m et n sont finis alors m + n, mn et mn le sont2 . On obtient alors des exemples de quantités finies : – 100 est fini (jel’ai rencontré). – 10100 (un « gogol3 », soit un « un » suivi de cent « zéros ») est fini. Ce nombre est déjà passablement grand, et excède l’essentiel des nombres utilisés en physique — à titre de comparaison, l’âge de l’Univers est d’environ 15 milliards d’années, soit 5 × 1017 s, et le nombre total de particules que compte l’Univers observable, matière noire comprise, est de l’ordre de 1080 , soitmoins du milliardième de la milliardième partie d’un gogol. Le terme français correct pour désigner « un gogol » est « dix mille hexadécillions » ; le terme « centillion » existe en français et désigne le nombre 10600 . 100 – 1010 , que nous écrirons 10 ↑ 10 ↑ 100 pour simplifier. Autrement dit, le nombre qui s’écrirait comme un « un » suivi d’un gogol de zéros — si ce n’est qu’il ne peut pas...
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