L’infini en mathématiques
(une présentation élémentaire)

David A. Madore 22 mars 2001
CVS : $Id: infinity.tex,v 1.9 2001/03/22 20:31:29 david Exp $ http://www.eleves.ens.fr: 8080/home/madore/math/infinity.pdf Avant-propos : Le pari assez ambitieux tenté ici est d’évoquer de façon générale « l’infini en mathématiques » d’une façon suffisamment synthétique pour être accessible aux non-spécialistes sans pour autant être ennuyeuse pour les experts ; de surcroît, on espère le faire avec assez de rigueur pour que le mathématicien s’estime satisfait, mais éviter néanmoins que le formalisme noie les considérations d’essence philosophique.
Résumé La notion d’infini nous fascine et nous échappe à la fois ; elle est resté longtemps mal comprise : lorsque Georg Cantor, à qui nous devons la vision moderne du concept d’infini en mathématiques, a présenté ses théories, on l’a d’abord pris pour fou. Cependant, les mathématiques contemporaines ont réussi à maîtriser et à comprendre l’infini : nous tenterons donc de donner un aperçu de leur point de vue, en évoquant au passage les considérations d’ordre philosophique qu’il soulève. Après un survol du « fini » et de l’infini « inachevé » (pré-Cantorien), nous tenterons de présenter les deux sortes d’infini qu’on trouve en théorie des ensembles : les ordinaux et les cardinaux. Tout au long de l’exposé se présentera la question « jusqu’où peut-on aller », et la réponse sera toujours « encore très loin ».

1

Introduction : qu’est-ce que le fini ? Jusqu’où va-ton (I) ?

Si l’infini se définit comme ce qui n’est pas fini, il faut pour le comprendre commencer par ce dernier terme (probablement assez mal choisi au demeurant). On partira des deux considérations suivantes, desquelles on conviendra aisément : – 0 est fini. (Une quantité nulle est finie.) – Si n est fini, alors n + 1 est également fini. (Rajouter une unité à une quantité finie ne peut pas la rendre infinie.) C’est déjà un progrès : ces deux principes permettent déjà de montrer que