Bijection réciproque

UNIVERSITE DES MONTAGNES Concours d’entrée en Première année Date : 23 septembre 2007 Filière des Sciences et Technologie Durée: 2h30 / épreuve SYNTHESE DES EPREUVES INSTRUCTIONS AUX CANDIDATS La durée de chaque épreuve est de 2 heures 30 minutes Chaque épreuve est constituée de 20 exercices. Chaque exercice comporte cinq propositions de réponse: a), b), c), d), e). Le candidat indiquera pour chaque proposition si elle est vraie (V) ou fausse (F). Toute réponse exacte donne droit à

faut que x > – 3 et que x² + 2x – 3 = (x – 1)(x + 3 ) >0 (à l’extérieur des racines) donc D = ]– 3 ; +∞ [. 1 + ln(x + 3) = ln(x² + 2x – 3) ⇔ ln e + ln(x + 3) = ln(x² + 2x – 3) ⇔ ln e(x + 3) = ln(x² + 2x – 3) ⇔ e(x + 3) = x² + 2x – 3. ln est une bijection : x² + (2 – e)x – 3(1 + e) = 0 , ∆ = (2 –e)² + 12(1 + e) = 4 – 4e + e² + 12 + 12e = e² + 8e + 16 = (e + 4)². x= −(2 − e) ± ( e + 4) , x1 = –3 ∉ D ou x2 = e + 1 ∈D. S = {e + 1}. 2 6. ln(x² – 4e²) < 1 + ln(3x) Il faut que x² – 4e² >0 et

PCSI A 2009-2010 Mathématiques Lycée Brizeux Suites récurrentes linéaires. 1 Généralités Dans cette partie K désigne indifférement le corps des réels ou celui des complexes. Définition 1. Soit (a, b) ∈ K × K∗ . Une suite récurrente linéaire d’ordre 2 est une suite (un )n∈N qui satisfait la relation de récurrence pour tout n ≥ 0 : un+2 = aun+1 + bun . Théorème 1.1. Soient (a, b) ∈ K × K∗ et l’ensemble La,b de suites récurrentes linéaires d’ordre 2 : La,b = {(un )n∈N ∈ KN | ∀n

corrigé ECRICOME 2005 Option Economiquepar Pierre Veuillez 1 EXERCICE On considère, pour tout entier naturel n, l’application 'n dé…nie sur R par : 8x 2 R; x)n e 'n (x) = (1 ainsi que l’intégrale : In = Z 2x 1 'n (x) dx 0 On se propose de démontrer l’existence de trois réels, a, b, c tels que : In = a + b c 1 + 2 + 2 " (n) n n n avec lim " (n) = 0 n!+1 'n étant continue, l’intégrale est bien dé…nie. R1 R1 1 1 e 2x 0 = 21 e 2 + 1 1. On a I0 = 0 '0 (x) dx = 0 e 2x dx = 2 R1 R1 et I1

t -&gt; f (t) à valeurs numériques. Définition : La transformée de Fourier est une application linéaire, bijective, bicontinue de L² (R) dans L² (R), fonctions de carré sommable f -&gt; ^f définie par ^f(w) = Rfte-iwtdt La transformation réciproque est telle que f(t)= 1/2π ^f(w) e-iwtdw a) La transformation de Fourier est qualifiée pour l’étude des signaux stationnaires (imprévus statistiquement prévisibles : loi de probabilités des évènements invariants dans le temps) b) Lorsque

multiplicativement. Pour a ∈ G, on note τa l’application de G vers G définie par τa (x) = axa−1 . a) Montrer que τa est un endomorphisme du groupe (G, ×). b) Vérifier que ∀a, b ∈ G, τa ◦ τb = τab c) Montrer que τa est bijective et déterminer son application réciproque. d) En déduire que T = {τa | a ∈ G} muni du produit de composition est un groupe. Exercice 4 [ 02221 ] [correction] Soit (G, ), (G , ) deux groupes et f : G → G un morphisme de groupes. a) Montrer que pour tout sous-groupe H de G, f (H) est un sous-groupe

La méthode merise  MERISE est une méthode de conception, de développement et de réalisation de projets informatiques. Le but de cette méthode est d'arriver à concevoir un système d'information  La méthode MERISE est basée sur la séparation des données et des traitements à effectuer en plusieurs modèles conceptuels et physiques. Le modèle conceptuel de données Propriété Les propriétés: sont les informations de base qui décrivent les éléments(les entités) d’un SI. Chaque propriété dispose

(g ◦ f )(1) = 3 7.4. Les fonctions réciproques Définition 5 Deux fonctions f et g sont réciproques l’une de l’autre si f (g(x)) = x et g( f (x)) = x. Ici, g est dénotée par f −1 . Dans ce cas, ( f ◦ f −1 )(x) = ( f −1 ◦ f )(x) = x, . Exemple 6 1 Si f (x) = 6 − 3x, alors sa réciproque est f −1 = − x + 2, car 3 1 1 ( f ◦ f −1 )(x) = f (− x + 2) = 6 − 3(− x + 2) = 6 + x − 6 = x 3 3 Il faut aussi vérifier que ( f −1 ◦ f )(x) = x (en exercice) Remarque La réciproque d’une fonction ne veut pas dire qu’on

x→−∞ l∈ℝ On dit que la droite d'équation y=l est asymptote horizontale à Cf Propriété : Si f est une fonction définie au voisinage de +∞ (ℝ+) Si (Un) est une suite définie par Un=f(n) Si lim f(x) = l alors lim Un = l x→+∞ n→+∞ Remarque : La réciproque est fausse. f(x)=cos(2πx) Un=cos(2πn)=1 f n'admet pas de limite en +∞ III. Limite d'une fonction lorsque x tend vers un réel a On considère une fonction f dont l'ensemble de définition Df contient un intervalle dont le nombre a est une borne 1)

intégration d’une fraction 2 0 rationnelle. Remarque : Bien souvent, on effectue le changement de variable u = ψ(t) avec ψ bijective plutôt que t = ϕ(u). Il faut bien vérifier le caractère C 1 de la réciproque ψ −1 ce qui n’est pas automatique. Par contre le théorème de dérivation des fonctions réciproques assure que la condition est réalisée dès que ψ ∈ C 1 et ψ ne s’annule pas. 2.3 Intégration par parties Soient f, g : [a, b[→ K deux applications continûment dérivables. Pour tout x ∈ [a,